Решение задачи: Траектория точки вдвое ближе к F, чем к прямой

Задача: Траектория точки \(M\), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке \(F(-1; 0)\), чем к прямой \(x = -4\), имеет вид... Решение: 1. Пусть точка \(M\) имеет координаты \((x; y)\). Расстояние от точки \(M\) до точки \(F(-1; 0)\) вычисляется по формуле: \[ r = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} \] 2. Расстояние от точки \(M\) до прямой \(x = -4\) (или \(x + 4 = 0\)) вычисляется как: \[ d = |x + 4| \] 3. По условию задачи точка \(M\) вдвое ближе к точке \(F\), чем к прямой. Это значит, что расстояние до прямой в 2 раза больше расстояния до точки: \[ d = 2r \] \[ |x + 4| = 2\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} \] 4. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x + 4)^2 = 4((x + 1)^2 + y^2) \] \[ x^2 + 8x + 16 = 4(x^2 + 2x + 1 + y^2) \] \[ x^2 + 8x + 16 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 \] 5. Перенесем все слагаемые с переменными в одну сторону, а свободные числа в другую: \[ 16 - 4 = 4x^2 - x^2 + 8x - 8x + 4y^2 \] \[ 12 = 3x^2 + 4y^2 \] 6. Приведем уравнение к каноническому виду эллипса, разделив обе части на 12: \[ \frac{3x^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = \frac{12}{12} \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \] Ответ: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)