Уравнение гиперболы по заданному эллипсу: Решение

Задача: Уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\), имеет вид... Решение: 1. Проанализируем данный эллипс \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\): Его параметры: \(a_e^2 = 25 \implies a_e = 5\); \(b_e^2 = 9 \implies b_e = 3\). Найдем половину фокусного расстояния эллипса (\(c_e\)): \[ c_e = \sqrt{a_e^2 - b_e^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] Вершины эллипса на оси \(Ox\): \((\pm 5; 0)\). Фокусы эллипса: \((\pm 4; 0)\). 2. Определим параметры искомой гиперболы \(\frac{x^2}{a_g^2} - \frac{y^2}{b_g^2} = 1\): По условию, вершины гиперболы находятся в фокусах эллипса. Значит, действительная полуось гиперболы \(a_g\) равна \(c_e\): \[ a_g = c_e = 4 \implies a_g^2 = 16 \] По условию, фокусы гиперболы находятся в вершинах эллипса. Значит, половина фокусного расстояния гиперболы \(c_g\) равна \(a_e\): \[ c_g = a_e = 5 \implies c_g^2 = 25 \] 3. Найдем мнимую полуось гиперболы (\(b_g\)) из основного соотношения для гиперболы \(c_g^2 = a_g^2 + b_g^2\): \[ b_g^2 = c_g^2 - a_g^2 \] \[ b_g^2 = 25 - 16 = 9 \] 4. Составим уравнение гиперболы: \[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \] Ответ: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) (первый вариант в списке).