Уравнения касательных к гиперболе x^2 - 4y^2 = 16 из точки A(0;-2)

Задача: Уравнения касательных к гиперболе \(x^2 - 4y^2 = 16\), проведенных из точки \(A(0; -2)\), имеют вид... Решение: 1. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив на 16: \[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1 \] Здесь \(a^2 = 16\), \(b^2 = 4\). 2. Уравнение любой прямой, проходящей через точку \(A(0; -2)\), имеет вид: \[ y - (-2) = k(x - 0) \implies y + 2 = kx \implies y = kx - 2 \] 3. Воспользуемся условием касания прямой \(y = kx + m\) и гиперболы \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\): \[ m^2 = a^2 k^2 - b^2 \] В нашем случае \(m = -2\), \(a^2 = 16\), \(b^2 = 4\). Подставим эти значения: \[ (-2)^2 = 16k^2 - 4 \] \[ 4 = 16k^2 - 4 \] \[ 8 = 16k^2 \] \[ k^2 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \] \[ k = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] 4. Подставим найденные значения \(k\) в уравнение прямой из пункта 2: \[ y + 2 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x \] Ответ: \(y + 2 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x\) (второй вариант в списке).