Решение задачи: Определение фокусного расстояния параболического зеркала

Решение задачи: Дано: Диаметр зеркала \( D = 80 \) см. Глубина зеркала \( h = 10 \) см. Найти: расстояние от вершины до фокуса \( f \). Решение: 1. Расположим параболу в системе координат так, чтобы её вершина находилась в начале координат \( (0; 0) \), а ось симметрии совпадала с осью \( Oy \). Уравнение такой параболы имеет вид: \[ x^2 = 2py \] где \( p \) — параметр параболы. 2. Расстояние от вершины до фокуса параболы \( f \) вычисляется по формуле: \[ f = \frac{p}{2} \] Следовательно, уравнение можно переписать через фокусное расстояние: \[ x^2 = 4fy \] 3. По условию диаметр зеркала равен 80 см. Это значит, что крайние точки зеркала по оси \( x \) имеют координаты \( x = \frac{D}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) см и \( x = -40 \) см. Глубина зеркала \( h = 10 \) см соответствует значению координаты \( y \) в этих точках. 4. Подставим координаты точки \( (40; 10) \) в уравнение параболы: \[ 40^2 = 4 \cdot f \cdot 10 \] \[ 1600 = 40f \] 5. Найдем \( f \): \[ f = \frac{1600}{40} \] \[ f = 40 \] Таким образом, источник света необходимо поместить на расстоянии 40 см от вершины параболы. Ответ: 40