Нахождение угла между плоскостями: подробное решение

Решение задачи: Даны уравнения двух плоскостей: 1) \( x - 2y + 2z - 8 = 0 \) 2) \( x + z - 6 = 0 \) Найти: угол между плоскостями в градусах. Решение: 1. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами (векторами, перпендикулярными плоскостям). Коэффициенты перед \( x, y, z \) в уравнении плоскости являются координатами её нормального вектора. Выпишем векторы нормалей для каждой плоскости: Для первой плоскости: \( \vec{n_1} = (1; -2; 2) \) Для второй плоскости: \( \vec{n_2} = (1; 0; 1) \) 2. Косинус угла \( \alpha \) между плоскостями вычисляется по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \] 3. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 1 + 0 + 2 = 3 \] 4. Найдем длины (модули) векторов: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] 5. Подставим полученные значения в формулу косинуса: \[ \cos \alpha = \frac{|3|}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] 6. Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 7. Определим угол \( \alpha \): Так как \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( \alpha = 45^\circ \). Ответ: 45