Найти точку пересечения двух прямых

Решение задачи: Даны уравнения двух прямых. Первая прямая задана как пересечение двух плоскостей, вторая — в каноническом виде. 1) \( \begin{cases} x + y - z + 4 = 0 \\ 2x - 3y - z - 5 = 0 \end{cases} \) 2) \( \frac{x+3}{4} = \frac{y+3}{1} = \frac{z-1}{2} \) Найти: точку их пересечения. Решение: 1. Представим вторую прямую в параметрическом виде. Пусть каждое отношение равно параметру \( t \): \[ \frac{x+3}{4} = t \Rightarrow x = 4t - 3 \] \[ \frac{y+3}{1} = t \Rightarrow y = t - 3 \] \[ \frac{z-1}{2} = t \Rightarrow z = 2t + 1 \] 2. Чтобы найти точку пересечения, подставим эти выражения для \( x, y, z \) в систему уравнений первой прямой: \[ \begin{cases} (4t - 3) + (t - 3) - (2t + 1) + 4 = 0 \\ 2(4t - 3) - 3(t - 3) - (2t + 1) - 5 = 0 \end{cases} \] 3. Решим первое уравнение системы относительно \( t \): \[ 4t - 3 + t - 3 - 2t - 1 + 4 = 0 \] \[ 3t - 3 = 0 \] \[ 3t = 3 \] \[ t = 1 \] 4. Проверим это значение \( t = 1 \) во втором уравнении системы: \[ 2(4 \cdot 1 - 3) - 3(1 - 3) - (2 \cdot 1 + 1) - 5 = 2(1) - 3(-2) - 3 - 5 = 2 + 6 - 3 - 5 = 0 \] Равенство \( 0 = 0 \) верно, значит прямые действительно пересекаются при \( t = 1 \). 5. Вычислим координаты точки пересечения, подставив \( t = 1 \) в параметрические уравнения: \[ x = 4(1) - 3 = 1 \] \[ y = 1 - 3 = -2 \] \[ z = 2(1) + 1 = 3 \] Получаем точку \( (1; -2; 3) \). Ответ: (1; -2; 3)