Определение и примеры нечетных функций

Решение задачи: Функция \( f(x) \) называется нечетной, если для любого \( x \) из её области определения выполняется условие: \[ f(-x) = -f(x) \] Проверим каждую из предложенных функций: 1) \( y = x^3 + \text{tg}x \) Проверим условие нечетности: \[ f(-x) = (-x)^3 + \text{tg}(-x) = -x^3 - \text{tg}x = -(x^3 + \text{tg}x) = -f(x) \] Функция является нечетной. 2) \( y = \frac{x(x+1)}{\sin x} \) Проверим условие: \[ f(-x) = \frac{-x(-x+1)}{\sin(-x)} = \frac{-x(-x+1)}{-\sin x} = \frac{x(-x+1)}{\sin x} \] Это не равно ни \( f(x) \), ни \( -f(x) \). Функция не является ни четной, ни нечетной. 3) \( y = x^3 \text{tg}x \) Проверим условие: \[ f(-x) = (-x)^3 \cdot \text{tg}(-x) = (-x^3) \cdot (-\text{tg}x) = x^3 \text{tg}x = f(x) \] Функция является четной (произведение двух нечетных функций дает четную). 4) \( y = \frac{x}{\cos x} + \sin x \) Проверим условие: \[ f(-x) = \frac{-x}{\cos(-x)} + \sin(-x) = \frac{-x}{\cos x} - \sin x = -(\frac{x}{\cos x} + \sin x) = -f(x) \] Функция является нечетной. Верные ответы: 1) \( y = x^3 + \text{tg}x \) 4) \( y = \frac{x}{\cos x} + \sin x \)