Область определения функции y = x / √(25-x²): Решение

Решение задачи: Дана функция: \[ y = \frac{x}{\sqrt[4]{25 - x^2}} \] Для нахождения области определения функции необходимо учесть два ограничения: 1. Выражение под корнем четной степени (в данном случае 4-й степени) должно быть неотрицательным: \( 25 - x^2 \geq 0 \). 2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: \( \sqrt[4]{25 - x^2} \neq 0 \), что означает \( 25 - x^2 \neq 0 \). Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: \[ 25 - x^2 > 0 \] Решим полученное неравенство: \[ (5 - x)(5 + x) > 0 \] Для решения воспользуемся методом интервалов. Корни выражения: \( x = 5 \) и \( x = -5 \). Расставим знаки на числовой прямой: - При \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( (5 - (-6))(5 + (-6)) = 11 \cdot (-1) = -11 < 0 \) (минус) - При \( -5 < x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( (5 - 0)(5 + 0) = 25 > 0 \) (плюс) - При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (5 - 6)(5 + 6) = -1 \cdot 11 = -11 < 0 \) (минус) Нам подходит интервал, где выражение положительно. Следовательно, \( x \in (-5; 5) \). Ответ: \( x \in (-5; 5) \)