Решение задачи №6: Определение КПД термодинамического цикла

Задача №6 Дано: Одноатомный газ (\(i = 3\)). График цикла в координатах \(p, V\). Из графика: \(p_1 = p_0\), \(V_1 = V_0\) \(p_2 = 4p_0\), \(V_2 = 4V_0\) \(p_3 = p_0\), \(V_3 = 4V_0\) Найти: \(\eta\) — КПД цикла. Решение: 1. Коэффициент полезного действия тепловой машины определяется формулой: \[ \eta = \frac{A}{Q_{н}} \cdot 100\% \] где \(A\) — работа газа за цикл, \(Q_{н}\) — количество теплоты, полученное от нагревателя. 2. Работа газа за цикл \(A\) численно равна площади фигуры внутри цикла (треугольника 1-2-3): \[ A = \frac{1}{2} \cdot (V_3 - V_1) \cdot (p_2 - p_3) \] \[ A = \frac{1}{2} \cdot (4V_0 - V_0) \cdot (4p_0 - p_0) = \frac{1}{2} \cdot 3V_0 \cdot 3p_0 = 4,5 p_0 V_0 \] 3. Определим, на каких участках газ получает тепло (\(Q > 0\)). Процесс 1-2: давление и объем растут, температура растет, \(Q_{12} > 0\). Процесс 2-3: изохорное охлаждение (\(V = const\), \(p\) падает), \(Q_{23} < 0\). Процесс 3-1: изобарное сжатие (\(p = const\), \(V\) падает), \(Q_{31} < 0\). Следовательно, \(Q_{н} = Q_{12}\). 4. По первому закону термодинамики для участка 1-2: \[ Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} \] Изменение внутренней энергии для одноатомного газа: \[ \Delta U_{12} = \frac{3}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} (4p_0 \cdot 4V_0 - p_0 V_0) = \frac{3}{2} \cdot 15 p_0 V_0 = 22,5 p_0 V_0 \] Работа в процессе 1-2 (площадь трапеции под графиком): \[ A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} \cdot (V_2 - V_1) = \frac{p_0 + 4p_0}{2} \cdot (4V_0 - V_0) = \frac{5p_0}{2} \cdot 3V_0 = 7,5 p_0 V_0 \] Тогда теплота от нагревателя: \[ Q_{н} = 22,5 p_0 V_0 + 7,5 p_0 V_0 = 30 p_0 V_0 \] 5. Вычисляем КПД: \[ \eta = \frac{4,5 p_0 V_0}{30 p_0 V_0} = 0,15 \] В процентах: \[ \eta = 0,15 \cdot 100\% = 15\% \] Ответ: В. 15%.