Решение задачи №25: Корреляционная таблица

Задача №25 Для решения задачи по корреляционной таблице сначала найдем середины интервалов для признаков X и Y. Середины интервалов X (\(x_i\)): 32.5; 40; 42.5; 47.5; 52.5. (Примечание: в таблице есть наложение интервалов 35-45 и 40-45, примем их как есть для расчетов). Середины интервалов Y (\(y_j\)): 2.5; 5.5; 8.5; 11.5; 14.5; 17.5. 1. Вычисление выборочных характеристик. Общее число наблюдений \(n = 250\). Выборочное среднее для X: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i n_i = \frac{32.5 \cdot 69 + 40 \cdot 118 + 42.5 \cdot 37 + 47.5 \cdot 22 + 52.5 \cdot 4}{250} = \frac{2242.5 + 4720 + 1572.5 + 1045 + 210}{250} = \frac{9790}{250} = 39.16 \] Выборочное среднее для Y: \[ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum y_j n_j = \frac{2.5 \cdot 10 + 5.5 \cdot 161 + 8.5 \cdot 40 + 11.5 \cdot 22 + 14.5 \cdot 14 + 17.5 \cdot 3}{250} = \frac{25 + 885.5 + 340 + 253 + 203 + 52.5}{250} = \frac{1759}{250} = 7.036 \] Вычислим дисперсии и средние квадратические отклонения: \[ D_x = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{388537.5}{250} - 39.16^2 = 1554.15 - 1533.5056 = 20.6444 \] \[ \sigma_x = \sqrt{20.6444} \approx 4.54 \] \[ D_y = \frac{\sum y_j^2 n_j}{n} - (\bar{y})^2 = \frac{14749}{250} - 7.036^2 = 58.996 - 49.505 = 9.491 \] \[ \sigma_y = \sqrt{9.491} \approx 3.08 \] 2. Выборочный коэффициент корреляции. Сначала найдем смешанный момент: \[ \overline{xy} = \frac{1}{n} \sum \sum x_i y_j n_{ij} \] Суммируя произведения середин интервалов на частоты из таблицы: \[ \overline{xy} = \frac{1}{250} (32.5 \cdot 2.5 \cdot 7 + 32.5 \cdot 5.5 \cdot 61 + \dots) \approx 286.45 \] Коэффициент корреляции: \[ r_{xy} = \frac{\overline{xy} - \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{286.45 - 39.16 \cdot 7.036}{4.54 \cdot 3.08} = \frac{286.45 - 275.53}{13.98} = \frac{10.92}{13.98} \approx 0.78 \] Так как \(r_{xy} = 0.78\), между X и Y существует сильная прямая корреляционная связь. 3. Проверка значимости по критерию Стьюдента. \[ t_{набл} = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \frac{0.78 \sqrt{248}}{\sqrt{1-0.78^2}} = \frac{0.78 \cdot 15.75}{0.626} \approx 19.6 \] При уровне значимости 0.05 и степенях свободы 248, \(t_{крит} \approx 1.97\). Так как \(t_{набл} > t_{крит}\), коэффициент корреляции значим. 4. Уравнения регрессии. Уравнение Y на X: \[ y - \bar{y} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} (x - \bar{x}) \] \[ y - 7.04 = 0.78 \frac{3.08}{4.54} (x - 39.16) \] \[ y = 0.53x - 13.71 \] Уравнение X на Y: \[ x - \bar{x} = r \frac{\sigma_x}{\sigma_y} (y - \bar{y}) \] \[ x - 39.16 = 0.78 \frac{4.54}{3.08} (y - 7.04) \] \[ x = 1.15y + 31.06 \] 5. Облако рассеяния и прямые регрессии. Для построения в тетради: - Нанесите точки, соответствующие центрам ячеек таблицы, где частота \(n_{ij} > 0\). - Проведите две прямые по полученным выше уравнениям. Точка их пересечения — \((\bar{x}; \bar{y}) = (39.16; 7.04)\). Прямые будут располагаться под острым углом друг к другу, что характерно для высокой корреляции.