Решение задачи на ограниченность функции

Решение задачи: Функция называется ограниченной, если существует такое число \( M \), что для всех \( x \) из области определения выполняется условие \( |f(x)| \leq M \). Простыми словами, график функции не уходит в бесконечность ни вверх, ни вниз. Разберем предложенные варианты: 1. \( y = e^{x^2} \) При увеличении \( x \), показатель степени \( x^2 \) растет до бесконечности. Следовательно, \( e^{x^2} \) также стремится к \( +\infty \). Функция не ограничена сверху. 2. \( y = e^{-x^2} \) Показатель степени \( -x^2 \) всегда меньше или равен \( 0 \). Максимальное значение функции достигается при \( x = 0 \) и равно \( e^0 = 1 \). При \( x \to \pm\infty \) функция стремится к \( 0 \). Таким образом, значения функции всегда лежат в интервале \( (0; 1] \). Функция ограничена. 3. \( y = \frac{\cos x}{x^2} \) Несмотря на то, что при больших \( x \) функция стремится к нулю, у нее есть точка разрыва при \( x = 0 \). В окрестности нуля числитель \( \cos x \approx 1 \), а знаменатель \( x^2 \) становится сколь угодно малым положительным числом. Это значит, что \( y \to +\infty \) при \( x \to 0 \). Функция не ограничена. 4. \( y = \cos x + \sin x \) Обе функции \( \sin x \) и \( \cos x \) ограничены значениями от \( -1 \) до \( 1 \). Их сумма также ограничена. Используя метод вспомогательного угла, можно показать, что: \[ y = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \] Следовательно, значения функции лежат в пределах \( [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \). Функция ограничена. Ответ: \( y = e^{-x^2} \) \( y = \cos x + \sin x \)