Решение задачи: Определение монотонности функции

Решение задачи: Функция называется монотонной на интервале, если она на всём этом интервале либо только возрастает, либо только убывает. Нам нужно проверить монотонность на всей числовой прямой \( x \in (-\infty; \infty) \). Разберем предложенные варианты: 1. \( y = x^3 \) Это кубическая функция. Она является строго возрастающей на всей числовой прямой: чем больше \( x \), тем больше \( y \). Следовательно, она монотонна. 2. \( y = \sqrt[3]{x} \) Корень нечетной степени определен для всех \( x \). Эта функция также является строго возрастающей на всей области определения. Следовательно, она монотонна. 3. \( y = x^2 \) Графиком является парабола. При \( x < 0 \) функция убывает, а при \( x > 0 \) — возрастает. Поскольку характер изменения функции меняется, она не является монотонной на всей числовой прямой \( (-\infty; \infty) \). 4. Кусочная функция: \[ y = \begin{cases} x, & \text{при } x < 0 \\ 2x, & \text{при } x \geq 0 \end{cases} \] На первом участке (\( x < 0 \)) функция возрастает (коэффициент 1 > 0). На втором участке (\( x \geq 0 \)) функция также возрастает (коэффициент 2 > 0). В точке стыка \( x = 0 \) значения совпадают (\( 0 = 0 \)). Так как функция возрастает на каждом из участков и не имеет скачков вниз, она является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Ответ: \( y = x^3 \) \( y = \sqrt[3]{x} \) \( y = \begin{cases} x, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases} \)