Решение задачи: Бесконечно малая функция при x → ∞

Решение задачи: Функция называется бесконечно малой при \( x \to \infty \), если её предел при стремлении аргумента к бесконечности равен нулю: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \] Проверим каждый вариант (в условии снова опечатка \( n \to \infty \), подразумевается \( x \)): 1. \( y = \frac{1}{x^{-2}} \) Перепишем функцию, используя свойства степени: \( y = x^2 \). При \( x \to \infty \) функция \( x^2 \to \infty \). Это бесконечно большая функция. 2. \( y = \text{arctg } x \) Вспомним график арктангенса. При \( x \to +\infty \) предел равен \( \frac{\pi}{2} \), а при \( x \to -\infty \) предел равен \( -\frac{\pi}{2} \). Предел не равен нулю, функция не является бесконечно малой. 3. \( y = \text{tg } x \) Эта функция периодическая и не имеет предела при \( x \to \infty \). Она не является бесконечно малой. 4. \( y = \log_{0,5} x \) Это логарифмическая функция с основанием меньше единицы. При \( x \to \infty \) значения логарифма стремятся к \( -\infty \). Это бесконечно большая функция. 5. \( y = \sqrt[9]{x} \) При \( x \to \infty \) корень девятой степени также стремится к \( \infty \). Это бесконечно большая функция. Анализ вариантов показывает, что среди предложенных формул в явном виде нет бесконечно малой функции при \( x \to \infty \). Однако, если в первом варианте была допущена опечатка и подразумевалось \( y = \frac{1}{x^2} \) (без минуса в показателе), то она была бы верной. Если же рассматривать вариант \( y = \frac{1}{x^{-2}} \) строго как \( x^2 \), то правильных ответов в данном списке нет. Но в подобных тестах часто подразумевается именно дробь с положительной степенью в знаменателе. Если нужно выбрать наиболее подходящий по структуре "единица делить на икс" вариант, это первый. Если первый вариант записан именно как \( \frac{1}{x^{-2}} \), то правильных ответов нет. Перепроверьте условие первого варианта на предмет наличия минуса. Если минуса нет (\( y = \frac{1}{x^2} \)), выбирайте его. Если минус есть, возможно, в тесте ошибка.