Решение задачи на непрерывность функции в точке

Решение задачи: Функция называется непрерывной в точке \( x_0 \), если она определена в этой точке, существует предел функции при \( x \to x_0 \) и этот предел равен значению функции в данной точке: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] Проверим предложенные варианты для точки \( x = 0 \): 1. \( y = \text{tg } x \) Функция определена в нуле, \( \text{tg } 0 = 0 \). Предел при \( x \to 0 \) также равен \( 0 \). Функция непрерывна. 2. \( y = \frac{1}{x} \) Функция не определена в точке \( x = 0 \) (деление на ноль). Следовательно, она имеет разрыв в этой точке. 3. Кусочная функция: \[ y = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases} \] Проверим односторонние пределы: Левый предел: \( \lim_{x \to 0-} (-x) = 0 \). Правый предел: \( \lim_{x \to 0+} x = 0 \). Значение в точке: \( f(0) = 0 \). Так как пределы слева, справа и значение функции совпадают, функция непрерывна (это функция \( y = |x| \)). 4. \( y = \sqrt{x} \) Эта функция определена только при \( x \geq 0 \). В точке \( x = 0 \) она непрерывна справа, но так как она не определена для отрицательных \( x \), понятие классической непрерывности в точке (двусторонней) к ней обычно не применяется в строгом смысле, если рассматривать всю числовую прямую. Однако в школьном курсе часто считают её непрерывной в граничной точке области определения. Но по сравнению с первыми вариантами она менее "непрерывна". 5. Кусочная функция: \[ y = \begin{cases} 1, & x \leq 0 \\ x, & x > 0 \end{cases} \] Проверим пределы: Левый предел: \( \lim_{x \to 0-} 1 = 1 \). Правый предел: \( \lim_{x \to 0+} x = 0 \). Пределы не совпадают (\( 1 \neq 0 \)). В точке \( x = 0 \) наблюдается скачок. Функция разрывна. Ответ: \( y = \text{tg } x \) \( y = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases} \)