Решение предела lim (x→∞) ((x^2+5)/(x^2+3))^x^2

Решение задачи: Для нахождения предела \( a = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2+5}{x^2+3} \right)^{x^2} \) воспользуемся вторым замечательным пределом: \[ \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t = e \] 1. Преобразуем выражение в скобках, выделив целую часть: \[ \frac{x^2+5}{x^2+3} = \frac{(x^2+3)+2}{x^2+3} = 1 + \frac{2}{x^2+3} \] 2. Подставим это в выражение предела: \[ a = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x^2+3} \right)^{x^2} \] 3. Чтобы воспользоваться формулой замечательного предела, искусственно сформируем в показателе степень, обратную дроби \( \frac{2}{x^2+3} \): \[ a = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{2}{x^2+3} \right)^{\frac{x^2+3}{2}} \right]^{\frac{2}{x^2+3} \cdot x^2} \] 4. Внутренняя часть в квадратных скобках по второму замечательному пределу стремится к \( e \). Теперь найдем предел показателя степени: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1+\frac{3}{x^2}} = 2 \] 5. Таким образом, значение предела \( a \): \[ a = e^2 \] 6. В задаче требуется указать \( \ln a \): \[ \ln a = \ln(e^2) = 2 \] Ответ: 2