Решение предела последовательности √[3](x³ + 6x²) - x

Задание: Найти предел последовательности при \( n \to +\infty \). Судя по условию на картинке, в выражении используется переменная \( x \), поэтому будем считать предел при \( x \to +\infty \). \[ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - x) \] Решение: Для решения данного предела воспользуемся формулой разности кубов: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \] Отсюда выразим разность \( a - b \): \[ a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \] В нашем случае \( a = \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} \), а \( b = x \). Применим формулу: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2})^3 - x^3}{(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2})^2 + x \cdot \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} + x^2} \] Упростим числитель: \[ (\sqrt[3]{x^3 + 6x^2})^3 - x^3 = x^3 + 6x^2 - x^3 = 6x^2 \] Теперь предел выглядит так: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2}{\sqrt[3]{(x^3 + 6x^2)^2} + x \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} + x^2} \] Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \). Заметим, что \( x^2 = \sqrt[3]{x^6} \). В знаменателе: 1) \( \frac{\sqrt[3]{(x^3 + 6x^2)^2}}{x^2} = \sqrt[3]{\frac{x^6 + 12x^5 + 36x^4}{x^6}} = \sqrt[3]{1 + \frac{12}{x} + \frac{36}{x^2}} \) 2) \( \frac{x \sqrt[3]{x^3 + 6x^2}}{x^2} = \frac{\sqrt[3]{x^3 + 6x^2}}{x} = \sqrt[3]{\frac{x^3 + 6x^2}{x^3}} = \sqrt[3]{1 + \frac{6}{x}} \) 3) \( \frac{x^2}{x^2} = 1 \) Подставим это в предел: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{6}{\sqrt[3]{1 + \frac{12}{x} + \frac{36}{x^2}} + \sqrt[3]{1 + \frac{6}{x}} + 1} \] Так как при \( x \to +\infty \) дроби \( \frac{12}{x} \), \( \frac{36}{x^2} \) и \( \frac{6}{x} \) стремятся к нулю, получаем: \[ \frac{6}{\sqrt[3]{1 + 0 + 0} + \sqrt[3]{1 + 0} + 1} = \frac{6}{1 + 1 + 1} = \frac{6}{3} = 2 \] Ответ: 2