Решение предела последовательности (x+3)/(2x-5) в степени 6x

Задание: Найти предел последовательности при \( n \to +\infty \). В выражении используется переменная \( x \), поэтому вычисляем предел при \( x \to +\infty \). \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 3}{2x - 5} \right)^{6x} \] Решение: 1. Сначала проанализируем основание степени при \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3}{2x - 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 + \frac{3}{x})}{x(2 - \frac{5}{x})} = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2} \] 2. Теперь рассмотрим показатель степени: При \( x \to +\infty \), показатель \( 6x \to +\infty \). 3. Таким образом, мы имеем дело с пределом вида \( (\frac{1}{2})^{+\infty} \). Так как основание степени \( \frac{1}{2} \) по модулю меньше единицы (\( | \frac{1}{2} | < 1 \)), то при возведении в бесконечно большую положительную степень результат стремится к нулю. Формально это можно записать так: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 3}{2x - 5} \right)^{6x} = \left( \frac{1}{2} \right)^{+\infty} = 0 \] Ответ: 0