Решение задачи на нахождение производной неявной функции в точке

Задание: Найти производную функции, заданной неявно уравнением \( 3x^2y^2 - 5x + \sin y = 3y - 1 \), в точке \( M(1; 0) \). Решение: 1. Продифференцируем обе части уравнения по \( x \), учитывая, что \( y \) является функцией от \( x \) (используем правило производной произведения и сложной функции): \[ (3x^2y^2)' - (5x)' + (\sin y)' = (3y)' - (1)' \] 2. Вычисляем производные: Для \( 3x^2y^2 \): \( 6xy^2 + 3x^2 \cdot 2yy' = 6xy^2 + 6x^2yy' \) Для \( 5x \): \( 5 \) Для \( \sin y \): \( \cos y \cdot y' \) Для \( 3y \): \( 3y' \) Для \( 1 \): \( 0 \) Получаем уравнение: \[ 6xy^2 + 6x^2yy' - 5 + \cos y \cdot y' = 3y' \] 3. Подставим координаты точки \( M(1; 0) \), то есть \( x = 1 \) и \( y = 0 \), в полученное уравнение, чтобы найти \( y' \): \[ 6(1)(0)^2 + 6(1)^2(0)y' - 5 + \cos(0) \cdot y' = 3y' \] 4. Упрощаем выражение: \[ 0 + 0 - 5 + 1 \cdot y' = 3y' \] \[ -5 + y' = 3y' \] 5. Переносим слагаемые с \( y' \) в одну сторону: \[ -5 = 3y' - y' \] \[ -5 = 2y' \] \[ y' = -\frac{5}{2} \] Ответ: \( -\frac{5}{2} \)