Решение: Производная параметрической функции

Задание: Найти производную функции, заданной параметрически: \[ \begin{cases} x = \sqrt{2t - t^2} \\ y = \arcsin(t - 1) \end{cases} \] Решение: 1. Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: \[ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \] 2. Найдем производную \( x \) по \( t \). Используем правило дифференцирования сложной функции \( (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \): \[ x'_t = (\sqrt{2t - t^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2t - t^2}} \cdot (2 - 2t) = \frac{2(1 - t)}{2\sqrt{2t - t^2}} = \frac{1 - t}{\sqrt{2t - t^2}} \] 3. Найдем производную \( y \) по \( t \). Используем формулу \( (\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u' \): \[ y'_t = (\arcsin(t - 1))' = \frac{1}{\sqrt{1 - (t - 1)^2}} \cdot (t - 1)' = \frac{1}{\sqrt{1 - (t^2 - 2t + 1)}} \cdot 1 \] \[ y'_t = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2 + 2t - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2t - t^2}} \] 4. Подставим найденные производные в общую формулу: \[ y'_x = \frac{\frac{1}{\sqrt{2t - t^2}}}{\frac{1 - t}{\sqrt{2t - t^2}}} \] 5. При делении дробей знаменатели сокращаются: \[ y'_x = \frac{1}{1 - t} \] Данный результат соответствует второму варианту ответа. Ответ: \( \frac{1}{1 - t} \)