Решение контрольной работы №1 (п. 1-4). Вариант 1

Контрольная работа № 1 (п. 1–4) Вариант 1 Задание 1. Сократите дробь: а) \(\frac{12a^2b}{27ab^2}\) Разделим числитель и знаменатель на \(3ab\): \[\frac{12a^2b}{27ab^2} = \frac{4a}{9b}\] б) \(\frac{3x^2 - 15x}{15x}\) Вынесем общий множитель \(3x\) в числителе: \[\frac{3x(x - 5)}{15x} = \frac{x - 5}{5}\] в) \(\frac{x^2 - 16}{2x - 8}\) Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем 2: \[\frac{(x - 4)(x + 4)}{2(x - 4)} = \frac{x + 4}{2}\] Задание 2. Выполните действие: а) \(\frac{2a - 1}{3a} + \frac{a + 2}{6a}\) Приведем к общему знаменателю \(6a\): \[\frac{2(2a - 1) + (a + 2)}{6a} = \frac{4a - 2 + a + 2}{6a} = \frac{5a}{6a} = \frac{5}{6}\] б) \(\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}\) Приведем к общему знаменателю \((x - 3)(x + 3)\): \[\frac{(x + 3) - (x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 3 - x + 3}{x^2 - 9} = \frac{6}{x^2 - 9}\] Задание 3. Упростите выражение \(4b + \frac{3a - 20b^2}{5b}\) и найдите его значение при \(a = 7, b = -0,2\). Сначала упростим: \[4b + \frac{3a - 20b^2}{5b} = \frac{4b \cdot 5b + 3a - 20b^2}{5b} = \frac{20b^2 + 3a - 20b^2}{5b} = \frac{3a}{5b}\] Подставим значения \(a = 7\) и \(b = -0,2\): \[\frac{3 \cdot 7}{5 \cdot (-0,2)} = \frac{21}{-1} = -21\] Ответ: -21. Задание 4. Упростите выражение: \[\left( \frac{a + 2}{a - 2} - \frac{a - 2}{a + 2} \right) : \frac{16a}{a^2 - 4}\] 1) Выполним действие в скобках: \[\frac{(a + 2)^2 - (a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{(a^2 + 4a + 4) - (a^2 - 4a + 4)}{a^2 - 4} = \frac{a^2 + 4a + 4 - a^2 + 4a - 4}{a^2 - 4} = \frac{8a}{a^2 - 4}\] 2) Выполним деление: \[\frac{8a}{a^2 - 4} : \frac{16a}{a^2 - 4} = \frac{8a}{a^2 - 4} \cdot \frac{a^2 - 4}{16a} = \frac{8a}{16a} = \frac{1}{2} = 0,5\] Ответ: 0,5.