Найти Модуль и Аргумент Комплексного Числа: Решение

Задание: Найти модуль и аргумент комплексного числа \( z = \frac{8+2i}{5-3i} \). Решение: 1. Сначала приведем комплексное число к стандартному виду \( a + bi \). Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на \( (5 + 3i) \): \[ z = \frac{(8 + 2i)(5 + 3i)}{(5 - 3i)(5 + 3i)} \] 2. Раскроем скобки в числителе и воспользуемся формулой разности квадратов в знаменателе (учитывая, что \( i^2 = -1 \)): \[ z = \frac{40 + 24i + 10i + 6i^2}{5^2 - (3i)^2} = \frac{40 + 34i - 6}{25 + 9} = \frac{34 + 34i}{34} \] \[ z = 1 + i \] 3. Теперь найдем модуль полученного числа \( z = 1 + i \), где \( a = 1, b = 1 \): \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] 4. Найдем аргумент \( \varphi \). Так как точка \( (1; 1) \) находится в первой четверти: \[ \tan \varphi = \frac{b}{a} = \frac{1}{1} = 1 \] \[ \varphi = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z \] Сверяем с предложенными вариантами ответов. Ответ: \[ |z| = \sqrt{2}, \varphi = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z \]