Нахождение наклонной асимптоты функции f(x) = 2x^3/(x^2 - 1)

Задание: Найти наклонную асимптоту графика функции \( f(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 1} \). Решение: Уравнение наклонной асимптоты имеет вид \( y = kx + b \). Коэффициенты \( k \) и \( b \) находятся с помощью пределов при \( x \to \infty \). 1. Найдем коэффициент \( k \): \[ k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3}{x^3 - x} \] Разделим числитель и знаменатель на \( x^3 \): \[ k = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2}{1 - 0} = 2 \] 2. Найдем коэффициент \( b \): \[ b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^3}{x^2 - 1} - 2x \right) \] Приведем к общему знаменателю: \[ b = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x^3 + 2x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x^2 - 1} \] Так как степень знаменателя выше степени числителя, предел равен 0: \[ b = 0 \] 3. Подставим найденные значения в уравнение \( y = kx + b \): \[ y = 2x + 0 \] \[ y = 2x \] Ответ: \( y = 2x \)