Решение предела функции: lim (x->0) (e^x - e^-x) / ln(x+1)

Задание: Вычислить предел функции. \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\ln(x + 1)} \] Решение: 1. Проверим наличие неопределенности. Подставим \( x = 0 \) в выражение: \[ \frac{e^0 - e^0}{\ln(0 + 1)} = \frac{1 - 1}{\ln(1)} = \frac{0}{0} \] Получена неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). 2. Для решения воспользуемся методом эквивалентных бесконечно малых величин при \( x \to 0 \): - Для знаменателя: \( \ln(1 + x) \sim x \) - Для числителя преобразуем выражение: \( e^x - e^{-x} = e^x - \frac{1}{e^x} = \frac{e^{2x} - 1}{e^x} \) Так как \( e^{2x} - 1 \sim 2x \) и \( e^x \to 1 \), то числитель \( e^x - e^{-x} \sim 2x \). 3. Подставим эквивалентности в предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\ln(x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} \] 4. Сократим на \( x \): \[ \lim_{x \to 0} 2 = 2 \] Альтернативный способ (правило Лопиталя): Продифференцируем числитель и знаменатель отдельно: \[ \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})'}{(\ln(x + 1))'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\frac{1}{x + 1}} \] Подставим \( x = 0 \): \[ \frac{e^0 + e^0}{\frac{1}{0 + 1}} = \frac{1 + 1}{1} = 2 \] Ответ: 2.