Определение характера точки M(1;1) для функции y = 2x - x^2

Задание: Определить характер точки \( M(1;1) \) для функции \( y = 2x - x^2 \). Решение: 1. Найдем первую производную функции, чтобы определить критические точки: \[ y' = (2x - x^2)' = 2 - 2x \] 2. Приравняем производную к нулю для поиска точек экстремума: \[ 2 - 2x = 0 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Мы видим, что абсцисса точки \( M \) совпадает с критической точкой функции. 3. Определим характер этой точки с помощью второй производной: \[ y'' = (2 - 2x)' = -2 \] 4. Так как вторая производная \( y'' = -2 \), что меньше нуля (\( -2 < 0 \)), то согласно достаточному условию экстремума, в данной точке функция имеет локальный максимум. Дополнительное обоснование: Графиком функции \( y = -x^2 + 2x \) является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицателен). Вершина такой параболы всегда является точкой максимума. Координаты вершины: \[ x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1 \] \[ y_0 = 2(1) - (1)^2 = 1 \] Точка \( M(1;1) \) — вершина параболы. Ответ: максимума.