Нахождение точки минимума функции y = (1/5)(2x^3 + 3x^2 - 12x - 8)

Задание: Найти точку минимума функции \( y = \frac{1}{5}(2x^3 + 3x^2 - 12x - 8) \). Решение: 1. Найдем производную функции \( y' \). Постоянный множитель \( \frac{1}{5} \) выносится за знак производной: \[ y' = \frac{1}{5} \cdot (2x^3 + 3x^2 - 12x - 8)' \] \[ y' = \frac{1}{5} \cdot (6x^2 + 6x - 12) \] 2. Для поиска критических точек приравняем производную к нулю: \[ \frac{1}{5} \cdot (6x^2 + 6x - 12) = 0 \] Разделим обе части на \( \frac{6}{5} \): \[ x^2 + x - 2 = 0 \] 3. Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] 4. Определим, какая из точек является точкой минимума. Для этого найдем вторую производную: \[ y'' = \frac{1}{5} \cdot (6x^2 + 6x - 12)' = \frac{1}{5} \cdot (12x + 6) \] 5. Проверим знак второй производной в найденных точках: - При \( x = -2 \): \( y''(-2) = \frac{1}{5} \cdot (12 \cdot (-2) + 6) = \frac{1}{5} \cdot (-18) < 0 \) (это точка максимума). - При \( x = 1 \): \( y''(1) = \frac{1}{5} \cdot (12 \cdot 1 + 6) = \frac{18}{5} > 0 \) (это точка минимума). Следовательно, точка минимума функции равна 1. Ответ: 1.