Решение задач из экзаменационного варианта

Ниже представлено решение заданий из экзаменационного варианта, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. 1) Найдем величину наценки в рублях: \[ 120 \cdot 0,25 = 30 \text{ (руб.)} \] 2) Найдем розничную цену учебника: \[ 120 + 30 = 150 \text{ (руб.)} \] 3) Найдем количество учебников, которое можно купить на 1250 рублей: \[ 1250 : 150 = \frac{125}{15} = 8\frac{5}{15} = 8\frac{1}{3} \] Так как количество учебников должно быть целым числом, округляем в меньшую сторону. Ответ: 8 учебников. Задание 2. Вычислить: \( 36 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} \) Решение: \[ 36 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 36 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 36 + 2 \cdot 3^1 = 36 + 6 = 42 \] Ответ: 42. Задание 3. Найти значение выражения: \( \frac{\log_{4} 3}{\log_{16} 3} \) Решение: Воспользуемся формулой перехода к новому основанию \( \log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} \): \[ \frac{\log_{4} 3}{\log_{16} 3} = \frac{\frac{1}{\log_{3} 4}}{\frac{1}{\log_{3} 16}} = \frac{\log_{3} 16}{\log_{3} 4} = \log_{4} 16 = 2 \] Ответ: 2. Задание 4. Решить уравнение: \( \sqrt{6x + 1} = 7 \) Решение: Возведем обе части в квадрат: \[ 6x + 1 = 49 \] \[ 6x = 48 \] \[ x = 8 \] Проверка: \( \sqrt{6 \cdot 8 + 1} = \sqrt{49} = 7 \). Верно. Ответ: 8. Задание 5. Решить уравнение: \( 3^{x+1} + 3^{x+2} = 324 \) Решение: Вынесем общий множитель за скобки: \[ 3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^2 = 324 \] \[ 3^x (3 + 9) = 324 \] \[ 3^x \cdot 12 = 324 \] \[ 3^x = 27 \] \[ 3^x = 3^3 \] \[ x = 3 \] Ответ: 3. Задание 6. Решить уравнение: \( \log_{5}(2x - 7) = \log_{5}(x - 3) \) Решение: Перейдем к системе: \[ \begin{cases} 2x - 7 = x - 3 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x = 4 \\ x > 3 \end{cases} \] Значение \( x = 4 \) удовлетворяет условию. Ответ: 4. Задание 7. Решить уравнение: \( \sin(2x - \frac{\pi}{2}) = 0 \) Решение: \[ 2x - \frac{\pi}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} \). Задание 8. Решить неравенство: \( \frac{(x-5)(x+2)}{x-3} \le 0 \) Решение: Используем метод интервалов. Критические точки: \( x = 5 \), \( x = -2 \), \( x \neq 3 \). Отметим точки на прямой и определим знаки на промежутках: 1) \( (-\infty; -2] \) — знак "-" (подходит) 2) \( [-2; 3) \) — знак "+" 3) \( (3; 5] \) — знак "-" (подходит) 4) \( [5; +\infty) \) — знак "+" Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup (3; 5] \). Задание 9. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \sqrt{7}^{x+2y} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{343} \\ 0,01^{0,5x} \cdot 10^{3y} = 10 \end{cases} \] Решение: Приведем к одинаковым основаниям: \[ \begin{cases} 7^{\frac{x+2y}{2}} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}} \\ (10^{-2})^{0,5x} \cdot 10^{3y} = 10^1 \end{cases} \] \[ \begin{cases} \frac{x+2y}{2} = \frac{1+3}{2} \\ 10^{-x} \cdot 10^{3y} = 10^1 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ -x + 3y = 1 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 5y = 5 \Rightarrow y = 1 \] Подставим \( y = 1 \) в первое уравнение: \[ x + 2(1) = 4 \Rightarrow x = 2 \] Ответ: (2; 1).