Решение задач по алгебре: корни и функции

Ниже представлены решения задач из вашего списка, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt[3]{486} \cdot \sqrt[3]{12}}{4} \] Решение: Воспользуемся свойством корня \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \): \[ \frac{\sqrt[3]{486 \cdot 12}}{4} = \frac{\sqrt[3]{5832}}{4} \] Так как \( 18^3 = 5832 \), то \( \sqrt[3]{5832} = 18 \): \[ \frac{18}{4} = 4,5 \] Ответ: 4,5. Задание 2. Укажите множество значений функции \[ y = 2^x + 10 \] Решение: Показательная функция \( 2^x \) всегда принимает только положительные значения, то есть \( 2^x > 0 \). Прибавим к обеим частям неравенства 10: \[ 2^x + 10 > 0 + 10 \] \[ y > 10 \] Следовательно, множество значений функции: \( E(y) = (10; +\infty) \). Ответ: \( (10; +\infty) \). Задание 3. Найдите значение выражения \[ \log_6 8 - \log_6 2 + \log_6 9 \] Решение: Воспользуемся свойствами логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \) и \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \): \[ \log_6 \left( \frac{8}{2} \cdot 9 \right) = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 \] Так как \( 6^2 = 36 \): \[ \log_6 36 = 2 \] Ответ: 2. Задание 4. Решите уравнение \[ 2 \text{tg} \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = -2 \] Решение: Разделим обе части на 2: \[ \text{tg} \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = -1 \] Используем формулу для тангенса: \[ x - \frac{\pi}{6} = \text{arctg}(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \] Перенесем \( \frac{\pi}{6} \) в правую часть: \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n \] Приведем к общему знаменателю 12: \[ x = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + \pi n \] \[ x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Задание 5. Упростите выражение \[ -4\sin^2 2x - 4\cos^2 2x - 9 \] Решение: Вынесем \( -4 \) за скобки: \[ -4(\sin^2 2x + \cos^2 2x) - 9 \] По основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \): \[ -4 \cdot 1 - 9 = -4 - 9 = -13 \] Ответ: -13. Задание 6. Решите неравенство \[ \log_5 (5x + 2) \geq -1 \] Решение: 1. Область допустимых значений (ОДЗ): \[ 5x + 2 > 0 \Rightarrow 5x > -2 \Rightarrow x > -0,4 \] 2. Решим неравенство, представив -1 как логарифм: \[ \log_5 (5x + 2) \geq \log_5 5^{-1} \] Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \[ 5x + 2 \geq \frac{1}{5} \] \[ 5x \geq 0,2 - 2 \] \[ 5x \geq -1,8 \] \[ x \geq -0,36 \] С учетом ОДЗ (\( x > -0,4 \)), решением является \( x \geq -0,36 \). Ответ: \( [-0,36; +\infty) \). Задание 7. Решите уравнение \[ \sqrt{3 + x} - 1 = x \] Решение: Перенесем 1 в правую часть: \[ \sqrt{3 + x} = x + 1 \] Возведем обе части в квадрат (при условии \( x + 1 \geq 0 \), т.е. \( x \geq -1 \)): \[ 3 + x = (x + 1)^2 \] \[ 3 + x = x^2 + 2x + 1 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -2, x_2 = 1 \] Проверка условия \( x \geq -1 \): \( x_1 = -2 \) — не подходит. \( x_2 = 1 \) — подходит. Ответ: 1. Задание 8. Решите уравнение \[ \left( \frac{1}{81} \right)^x - 2 \cdot \left( \frac{1}{9} \right)^x - 3 = 0 \] Решение: Заметим, что \( \frac{1}{81} = \left( \frac{1}{9} \right)^2 \). Пусть \( \left( \frac{1}{9} \right)^x = t \), где \( t > 0 \). Уравнение принимает вид: \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 = 3, t_2 = -1 \] Так как \( t > 0 \), подходит только \( t = 3 \). Вернемся к замене: \[ \left( \frac{1}{9} \right)^x = 3 \] \[ (3^{-2})^x = 3^1 \] \[ 3^{-2x} = 3^1 \] \[ -2x = 1 \] \[ x = -0,5 \] Ответ: -0,5.