Решение задач 1-2 (Вариант 1) по геометрии

Ниже представлено решение первых четырех задач из Варианта 1, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: прямоугольник \(DORC\), \(DO = 24\), \(OR = 32\). Найти: \(|\vec{DM} + \vec{OM}|\), где \(M\) — точка пересечения диагоналей. Решение: 1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. 2. По теореме Пифагора найдем диагональ \(DR\): \[DR = \sqrt{DO^2 + OR^2} = \sqrt{24^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1024} = \sqrt{1600} = 40\] 3. Так как \(M\) — середина \(DR\), то \(\vec{DM} = \vec{MR}\). 4. Тогда сумма векторов: \(\vec{DM} + \vec{OM} = \vec{MR} + \vec{OM} = \vec{OM} + \vec{MR} = \vec{OR}\). 5. Модуль суммы равен длине стороны \(OR\): \[|\vec{OR}| = 32\] Ответ: 32. Задача 2. Дано: прямоугольник \(OZXN\), \(OZ = 36\), \(ZX = 77\). Найти: \(|\vec{OR} - \vec{ZR}|\), где \(R\) — точка пересечения диагоналей. Решение: 1. Разность векторов \(\vec{OR} - \vec{ZR}\) по правилу вычитания векторов равна вектору \(\vec{OZ}\). \[\vec{OR} - \vec{ZR} = \vec{OR} + \vec{RZ} = \vec{OZ}\] 2. Модуль этой разности равен длине стороны \(OZ\): \[|\vec{OZ}| = 36\] Ответ: 36. Задача 3. Дано: прямоугольник \(OHMK\), \(OH = 24\), \(HM = 32\). Найти: \(|\vec{OK} - \vec{OH}|\). Решение: 1. Разность векторов \(\vec{OK} - \vec{OH}\) по правилу вычитания векторов равна вектору \(\vec{HK}\). 2. В прямоугольнике \(OHMK\) отрезок \(HK\) является диагональю. 3. По теореме Пифагора из треугольника \(OHM\) (где \(HM = OK = 32\)): \[HK = \sqrt{OH^2 + OK^2} = \sqrt{24^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1024} = 40\] Ответ: 40. Задача 4. Дано: ромб \(ZBEM\), \(MB = 48\), \(ZE = 90\). Найти: \(|\vec{ZB} + \vec{ZM}|\). Решение: 1. По правилу параллелограмма сумма векторов \(\vec{ZB} + \vec{ZM}\) равна вектору диагонали ромба, выходящей из той же вершины, то есть вектору \(\vec{ZE}\). 2. Модуль суммы равен длине диагонали \(ZE\): \[|\vec{ZE}| = 90\] Ответ: 90.