Решение задачи №194 по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей. Задача №194 Дано: Вероятность того, что жук обычный: \( P(H_1) = 0,99 \) Вероятность того, что жук редкий: \( P(H_2) = 0,01 \) Вероятность узора у обычного жука: \( P(A|H_1) = 0,05 \) Вероятность узора у редкого жука: \( P(A|H_2) = 0,98 \) Найти: \( P(H_2|A) \) — вероятность того, что жук редкий, если у него есть узор. Решение: 1. Сначала найдем полную вероятность того, что у случайно найденного жука будет узор (событие \( A \)): \[ P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) \] \[ P(A) = 0,99 \cdot 0,05 + 0,01 \cdot 0,98 = 0,0495 + 0,0098 = 0,0593 \] 2. Используем формулу Байеса, чтобы найти вероятность того, что жук с узором принадлежит к редкому подвиду: \[ P(H_2|A) = \frac{P(H_2) \cdot P(A|H_2)}{P(A)} \] \[ P(H_2|A) = \frac{0,01 \cdot 0,98}{0,0593} = \frac{0,0098}{0,0593} \approx 0,165 \] Ответ: \( \approx 0,165 \) (или \( 16,5\% \)). Задача №187 Дано: Вероятность, что батарейка неисправна: \( P(D) = 0,03 \) Вероятность, что батарейка исправна: \( P(\bar{D}) = 1 - 0,03 = 0,97 \) Вероятность забраковать неисправную: \( P(Z|D) = 0,95 \) Вероятность забраковать исправную: \( P(Z|\bar{D}) = 0,04 \) Найти: \( P(Z) \) — вероятность того, что батарейка будет забракована. Решение: Для нахождения вероятности того, что батарейка будет забракована, воспользуемся формулой полной вероятности. Батарейка может быть забракована в двух случаях: если она неисправна и система это выявила, или если она исправна, но система ошиблась. \[ P(Z) = P(D) \cdot P(Z|D) + P(\bar{D}) \cdot P(Z|\bar{D}) \] \[ P(Z) = 0,03 \cdot 0,95 + 0,97 \cdot 0,04 \] \[ P(Z) = 0,0285 + 0,0388 = 0,0673 \] Ответ: \( 0,0673 \).