Решение задач контрольной работы по геометрии: Параллелограмм

Вот решения задач из вашей контрольной работы. Контрольная работа 1. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 24 см, а сторона AB больше BC в 2 раза. Решение: Пусть сторона BC равна \(x\) см. Тогда сторона AB равна \(2x\) см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, \(P = 2 \cdot (AB + BC)\). По условию, \(P = 24\) см. Составим уравнение: \(2 \cdot (2x + x) = 24\) \(2 \cdot (3x) = 24\) \(6x = 24\) \(x = \frac{24}{6}\) \(x = 4\) Итак, BC = 4 см. AB = \(2 \cdot 4 = 8\) см. Ответ: Стороны параллелограмма равны 8 см, 4 см, 8 см, 4 см. 2. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A меньше угла B на 20°. Решение: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. То есть, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Пусть \(\angle A = x\). Тогда \(\angle B = x + 20^\circ\). Составим уравнение: \(x + (x + 20^\circ) = 180^\circ\) \(2x + 20^\circ = 180^\circ\) \(2x = 180^\circ - 20^\circ\) \(2x = 160^\circ\) \(x = \frac{160^\circ}{2}\) \(x = 80^\circ\) Значит, \(\angle A = 80^\circ\). \(\angle B = 80^\circ + 20^\circ = 100^\circ\). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, \(\angle C = \angle A = 80^\circ\). \(\angle D = \angle B = 100^\circ\). Ответ: Углы параллелограмма равны 80°, 100°, 80°, 100°. 3. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 128°. Решение: В прямоугольной трапеции два угла прямые, то есть равны 90°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Пусть трапеция ABCD, где AB параллельна CD, а углы при вершинах A и D прямые (\(\angle A = \angle D = 90^\circ\)). Больший угол в трапеции может быть только тупым углом. По условию, больший угол равен 128°. Это может быть \(\angle B\) или \(\angle C\). Пусть это \(\angle B = 128^\circ\). Тогда \(\angle C = 180^\circ - \angle B\) (так как BC - боковая сторона, а AB || CD). \(\angle C = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ\). Углы при основании AD равны 90°. Ответ: Углы прямоугольной трапеции равны 90°, 90°, 128°, 52°. 4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если \(\angle ABD = 30^\circ\), AD = 15 см. Решение: В прямоугольнике все углы прямые, то есть равны 90°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол \(\angle BAD = 90^\circ\). Нам дано \(\angle ABD = 30^\circ\). Сторона AD = 15 см. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. AD - это катет, лежащий против угла \(\angle ABD\). Значит, гипотенуза BD (диагональ прямоугольника) в 2 раза больше AD. \(BD = 2 \cdot AD\) \(BD = 2 \cdot 15\) см \(BD = 30\) см. В прямоугольнике диагонали равны. Следовательно, \(AC = BD = 30\) см. Ответ: Диагонали прямоугольника равны 30 см. 5. В четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. Докажите, что MNPK – параллелограмм. Решение: Пусть дан четырехугольник MNPK. По условию, сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. Это означает, что: 1) \(\angle M + \angle N = 180^\circ\) (углы, прилежащие к стороне MN) 2) \(\angle N + \angle P = 180^\circ\) (углы, прилежащие к стороне NP) Из первого равенства следует, что MN || KP (так как сумма внутренних односторонних углов равна 180°). Из второго равенства следует, что NP || MK (так как сумма внутренних односторонних углов равна 180°). Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом по определению. Таким образом, MNPK – параллелограмм. Что и требовалось доказать. 6. В ромбе MHPK с тупым углом K диагонали пересекаются в точке E. Один из углов треугольника PKE равен 20°. Найти углы ромба. Решение: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом. Значит, \(\angle PEK = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник PKE. Он прямоугольный. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Один из углов треугольника PKE равен 20°. Это не может быть \(\angle PEK\), так как он равен 90°. Значит, это либо \(\angle EPK\), либо \(\angle PKE\). Пусть \(\angle EPK = 20^\circ\). Тогда \(\angle PKE = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\). Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, \(\angle K = 2 \cdot \angle PKE = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\). \(\angle P = 2 \cdot \angle EPK = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\). В ромбе сумма соседних углов равна 180°. Проверим: \(\angle K + \angle P = 140^\circ + 40^\circ = 180^\circ\). Это верно. Угол K является тупым углом, что соответствует условию задачи (\(140^\circ > 90^\circ\)). Углы ромба: \(\angle K = \angle H = 140^\circ\), \(\angle M = \angle P = 40^\circ\). Рассмотрим второй случай, если \(\angle PKE = 20^\circ\). Тогда \(\angle EPK = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\). \(\angle K = 2 \cdot \angle PKE = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\). \(\angle P = 2 \cdot \angle EPK = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\). В этом случае \(\angle K = 40^\circ\) (острый угол), а \(\angle P = 140^\circ\) (тупой угол). По условию, угол K тупой. Значит, этот случай не подходит. Ответ: Углы ромба равны 40°, 140°, 40°, 140°.