Задача 7. В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем. Какое это могло быть число? Ответ объясните.
Решение:
Для начала вспомним, сколько дней в разных месяцах и сколько дней в неделе.
- В неделе 7 дней.
- В месяцах бывает 28, 29, 30 или 31 день.
Если какое-то число ни в одном месяце не было воскресеньем, это означает, что в каждом месяце это число выпадало на любой другой день недели, кроме воскресенья.
Рассмотрим, какие числа могут быть в месяце:
- Числа от 1 до 28 есть в любом месяце (даже в феврале обычного года).
- Число 29 есть в феврале високосного года, а также в месяцах с 30 и 31 днём.
- Число 30 есть в месяцах с 30 и 31 днём.
- Число 31 есть только в месяцах с 31 днём.
Если бы число было, например, 1, то оно обязательно было бы воскресеньем хотя бы в одном месяце. Почему? Потому что 1-е число месяца может выпасть на любой день недели. Если 1-е число месяца выпадает на воскресенье, то 1-е число этого месяца будет воскресеньем.
Нам нужно найти такое число, которое никогда не бывает воскресеньем ни в одном месяце.
Давайте подумаем, какие числа могут быть в месяце. Максимальное число дней в месяце — 31.
Если мы возьмем любое число от 1 до 28, то оно обязательно будет присутствовать в каждом месяце. И в каком-то месяце это число обязательно выпадет на воскресенье. Например, если 1 января — понедельник, то 7 января — воскресенье. Если 1 февраля — вторник, то 6 февраля — воскресенье, 13 февраля — воскресенье, 20 февраля — воскресенье, 27 февраля — воскресенье. И так далее.
Рассмотрим числа, которые не всегда присутствуют в каждом месяце:
- Число 29: Оно есть в феврале високосного года, а также в месяцах с 30 и 31 днём. Если 29-е число месяца выпадает на воскресенье, то оно будет воскресеньем.
- Число 30: Оно есть в месяцах с 30 и 31 днём. Если 30-е число месяца выпадает на воскресенье, то оно будет воскресеньем.
- Число 31: Оно есть только в месяцах с 31 днём. Если 31-е число месяца выпадает на воскресенье, то оно будет воскресеньем.
Но что, если число вообще не существует в некоторых месяцах? Например, число 30 не существует в феврале. Число 31 не существует в феврале, апреле, июне, сентябре, ноябре.
Однако, вопрос звучит так: "некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем". Это означает, что для каждого месяца, в котором это число существует, оно не должно быть воскресеньем.
Давайте подумаем о числах, которые могут быть в календаре. Это числа от 1 до 31.
Предположим, что такое число существует. Пусть это число \(N\).
Если \(N\) — это число от 1 до 28, то оно есть в каждом месяце. В течение года, из-за сдвига дней недели, любое число от 1 до 28 обязательно выпадет на воскресенье хотя бы в одном месяце. Например, если 1-е число месяца может быть любым днём недели, то и 7-е, 14-е, 21-е, 28-е числа месяца могут быть любым днём недели, включая воскресенье.
Рассмотрим числа 29, 30, 31.
- Число 29: В месяцах, где есть 29 дней (февраль високосного года, апрель, июнь, сентябрь, ноябрь, январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь), 29-е число может быть воскресеньем.
- Число 30: В месяцах, где есть 30 или 31 день (апрель, июнь, сентябрь, ноябрь, январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь), 30-е число может быть воскресеньем.
- Число 31: В месяцах, где есть 31 день (январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь), 31-е число может быть воскресеньем.
Каждое из этих чисел (1, 2, ..., 31) в течение года обязательно выпадает на воскресенье в каком-либо месяце, если оно в этом месяце существует.
Но есть одно "число", которое никогда не может быть воскресеньем, потому что его просто нет в календаре. Это число, которое больше максимального количества дней в месяце.
Максимальное количество дней в месяце — 31.
Значит, любое число, которое больше 31, например, 32, 33 и так далее, никогда не будет воскресеньем, потому что его просто не существует в календаре.
Однако, формулировка "некоторое число" обычно подразумевает число, которое может быть датой. Даты бывают от 1 до 31.
Давайте перечитаем вопрос внимательно: "В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем. Какое это могло быть число?"
Это означает, что мы ищем такое число \(X\) (от 1 до 31), что для каждого месяца в году, если число \(X\) существует в этом месяце, то оно не является воскресеньем.
Это невозможно для любого числа от 1 до 31. Почему?
Дни недели повторяются каждые 7 дней. Если 1-е число месяца может быть любым днём недели, то и любое другое число месяца может быть любым днём недели, если оно существует в этом месяце.
Например, если 1-е число месяца — понедельник, то 7-е — воскресенье. Если 1-е число месяца — вторник, то 6-е — воскресенье. Если 1-е число месяца — среда, то 5-е — воскресенье. Если 1-е число месяца — четверг, то 4-е — воскресенье. Если 1-е число месяца — пятница, то 3-е — воскресенье. Если 1-е число месяца — суббота, то 2-е — воскресенье. Если 1-е число месяца — воскресенье, то 1-е — воскресенье.
Таким образом, любое число от 1 до 28 обязательно будет воскресеньем в каком-то месяце.
Что касается чисел 29, 30, 31:
- Число 29: В месяцах, где есть 29 дней, 29-е число может быть воскресеньем. Например, если 1-е число месяца — понедельник, то 29-е число будет понедельником. Если 1-е число месяца — вторник, то 29-е число будет вторником. Если 1-е число месяца — воскресенье, то 29-е число будет воскресеньем.
- Число 30: В месяцах, где есть 30 дней, 30-е число может быть воскресеньем.
- Число 31: В месяцах, где есть 31 день, 31-е число может быть воскресеньем.
Это означает, что для любого числа от 1 до 31, в течение года обязательно найдется месяц, в котором это число будет воскресеньем (при условии, что это число существует в данном месяце).
Единственное "число", которое никогда не может быть воскресеньем, потому что его просто нет в календаре, это число, которое больше максимального количества дней в месяце.
Максимальное количество дней в месяце — 31.
Значит, число 32 (или любое другое число больше 31) никогда не будет воскресеньем, потому что его просто нет в календаре ни одного месяца.
Ответ: Это могло быть число 32 (или любое другое число, большее 31).
Объяснение:
В календаре максимальное количество дней в месяце — 31. Это означает, что числа 32, 33 и так далее не существуют как даты в календаре. Если числа нет в календаре, то оно, очевидно, не может быть воскресеньем (или любым другим днём недели) ни в одном месяце. Таким образом, число 32 (или любое число, большее 31) ни в одном месяце не было воскресеньем, потому что его просто не существует в календаре.