Решение задачи С-7: Доказательство равенства треугольников

Ниже представлено решение задач из раздела С-7, оформленное для записи в школьную тетрадь. С-7 Задача 1 Дано: \(AA_1 = CC_1\), \(BC = B_1C_1\), \(BC \perp AC\), \(B_1C_1 \perp A_1C_1\) (рис. 30). Доказать: \(\triangle ACB = \triangle A_1C_1B_1\). Доказательство: 1. Рассмотрим отрезки на прямой \(AC_1\). По условию \(AA_1 = CC_1\). 2. Отрезок \(A_1C\) является общей частью для отрезков \(AC\) и \(A_1C_1\). 3. Выразим длины сторон \(AC\) и \(A_1C_1\): \[AC = AA_1 + A_1C\] \[A_1C_1 = A_1C + CC_1\] Так как \(AA_1 = CC_1\), то \(AC = A_1C_1\). 4. Рассмотрим треугольники \(ACB\) и \(A_1C_1B_1\): - \(AC = A_1C_1\) (доказано выше); - \(BC = B_1C_1\) (по условию); - \(\angle C = \angle C_1 = 90^\circ\) (так как \(BC \perp AC\) и \(B_1C_1 \perp A_1C_1\)). 5. Следовательно, \(\triangle ACB = \triangle A_1C_1B_1\) по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать. Задача 2 Дано: \(AB = BC\), \(\angle 1 = \angle 2\) (рис. 31). Доказать: \(\angle ADB = \angle CDB\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\). 2. В этих треугольниках: - Сторона \(AB = BC\) по условию; - Угол \(\angle 1 = \angle 2\) по условию (это углы \(ABD\) и \(CBD\)); - Сторона \(BD\) — общая. 3. Из этого следует, что \(\triangle ABD = \triangle CBD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Следовательно, \(\angle ADB = \angle CDB\). Что и требовалось доказать.