Решение задачи: Расчет вероятности по формуле Бернулли

Для заполнения таблицы III этапа мы будем использовать формулу Бернулли для теоретических расчетов и данные нашего воображаемого эксперимента из I этапа для экспериментальных частот. III этап: Расчёт по формуле Бернулли Теоретическая вероятность рассчитывается по формуле: \[ P_{10}(k) = C_{10}^{k} \cdot 0,5^{10} \] где \( 0,5^{10} \approx 0,0009765 \). Экспериментальная частота рассчитывается как \( \frac{K}{20} \), где \( K \) — сколько раз в наших 20 опытах выпало ровно \( k \) орлов. Вспомним наши данные из I этапа (количество орлов в 20 опытах): 5, 4, 6, 5, 3, 7, 5, 4, 6, 5, 5, 4, 6, 5, 8, 4, 5, 3, 6, 5. Подсчитаем количество повторений (\( K \)) для каждого \( k \): \( k=3 \): 2 раза; \( k=4 \): 4 раза; \( k=5 \): 8 раз; \( k=6 \): 4 раза; \( k=7 \): 1 раз; \( k=8 \): 1 раз. Для остальных \( K=0 \). Заполняем таблицу (значения округлены до сотых): Количество орлов (k) | Теоретическая вероятность \( P_{10}(k) \) | Экспериментальная частота \( \frac{K}{20} \) | Сравнение --- | --- | --- | --- 1 орёл | \( 10 \cdot 0,00098 \approx 0,01 \) | \( 0/20 = 0,00 \) | \( 0,01 > 0,00 \) 2 орла | \( 45 \cdot 0,00098 \approx 0,04 \) | \( 0/20 = 0,00 \) | \( 0,04 > 0,00 \) 3 орла | \( 120 \cdot 0,00098 \approx 0,12 \) | \( 2/20 = 0,10 \) | \( 0,12 \approx 0,10 \) 4 орла | \( 210 \cdot 0,00098 \approx 0,21 \) | \( 4/20 = 0,20 \) | \( 0,21 \approx 0,20 \) 5 орлов | \( 252 \cdot 0,00098 \approx 0,25 \) | \( 8/20 = 0,40 \) | \( 0,25 < 0,40 \) 6 орлов | \( 210 \cdot 0,00098 \approx 0,21 \) | \( 4/20 = 0,20 \) | \( 0,21 \approx 0,20 \) 7 орлов | \( 120 \cdot 0,00098 \approx 0,12 \) | \( 1/20 = 0,05 \) | \( 0,12 > 0,05 \) 8 орлов | \( 45 \cdot 0,00098 \approx 0,04 \) | \( 1/20 = 0,05 \) | \( 0,04 \approx 0,05 \) 9 орлов | \( 10 \cdot 0,00098 \approx 0,01 \) | \( 0/20 = 0,00 \) | \( 0,01 > 0,00 \) 10 орлов | \( 1 \cdot 0,00098 \approx 0,00 \) | \( 0/20 = 0,00 \) | \( 0,00 = 0,00 \) Вывод: Сравнение теоретических вероятностей и экспериментальных частот показывает, что при небольшом количестве опытов (20) наблюдаются отклонения, однако общая тенденция сохраняется: наиболее вероятным является выпадение 4, 5 или 6 орлов. Это подтверждает адекватность математической модели Бернулли для описания реальных случайных процессов. В отечественной науке такие методы широко применяются для обеспечения точности расчетов в самых разных областях — от статистики до инженерного дела.