Решение: Однородное ДУ и уравнение Бернулли. Вариант 9

Вариант 9. Задание 1. Решить однородное д.у. \[ (y + \sqrt{xy}) dx = x dy \] Решение: Разделим обе части на \( x dx \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{xy}}{x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}} \] Это однородное уравнение первого порядка. Введем замену \( y = ux \), тогда \( y' = u'x + u \). \[ u'x + u = u + \sqrt{u} \] \[ x \frac{du}{dx} = \sqrt{u} \] Разделим переменные: \[ \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{dx}{x} \] Интегрируем: \[ \int u^{-1/2} du = \int \frac{dx}{x} \] \[ 2\sqrt{u} = \ln|x| + C \] Возвращаемся к \( y \), учитывая \( u = y/x \): \[ 2\sqrt{\frac{y}{x}} = \ln|x| + C \] Ответ: \( 2\sqrt{\frac{y}{x}} = \ln|x| + C \). Задание 2. Решить задачу Коши для уравнения Бернулли. \[ y' + xy = (x-1)e^x y^2, \quad y(0)=1 \] Решение: Разделим на \( y^2 \): \[ y^{-2}y' + x y^{-1} = (x-1)e^x \] Замена \( z = y^{-1} \), тогда \( z' = -y^{-2}y' \), следовательно \( y^{-2}y' = -z' \). \[ -z' + xz = (x-1)e^x \implies z' - xz = (1-x)e^x \] Это линейное уравнение. Решим через интегрирующий множитель \( \mu(x) = e^{\int -x dx} = e^{-x^2/2} \). Однако, проще решить методом Бернулли \( z = uv \). Для краткости найдем общее решение \( z \): \[ z = e^{x^2/2} \left( \int (1-x)e^x e^{-x^2/2} dx + C \right) \] Заметим, что при \( y(0)=1 \), \( z(0)=1 \). Подставим \( x=0 \) в уравнение: \( z'(0) - 0 = (1-0)e^0 = 1 \). Для школьной тетради запишем итоговый вид через интеграл, так как данный интеграл не берется в элементарных функциях в общем виде. Ответ: \( \frac{1}{y} = e^{x^2/2} \left( 1 + \int_0^x (1-t)e^{t - t^2/2} dt \right) \). Задание 3. Доказать, что уравнение является д.у. в полных дифференциалах и решить его. \[ \frac{1+xy}{x^2 y} dx + \frac{1-xy}{xy^2} dy = 0 \] Решение: Пусть \( M = \frac{1}{x^2 y} + \frac{1}{x} \) и \( N = \frac{1}{xy^2} - \frac{1}{y} \). Проверим условие \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \): \[ \frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{1}{x^2 y^2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{1}{x^2 y^2} \] Условие выполняется. Найдем функцию \( U(x,y) \): \[ U = \int M dx = \int (\frac{1}{x^2 y} + \frac{1}{x}) dx = -\frac{1}{xy} + \ln|x| + \varphi(y) \] Дифференцируем по \( y \): \[ \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{1}{xy^2} + \varphi'(y) = N = \frac{1}{xy^2} - \frac{1}{y} \] Отсюда \( \varphi'(y) = -\frac{1}{y} \), значит \( \varphi(y) = -\ln|y| \). Общее решение: \( \ln|x| - \ln|y| - \frac{1}{xy} = C \). Ответ: \( \ln|\frac{x}{y}| - \frac{1}{xy} = C \). Задание 4. Решить д.у. методом понижения степени. \[ y''' = \frac{(\sqrt{x})^3 + 1}{x^{1/2} + 1} \] Решение: Упростим правую часть. Пусть \( \sqrt{x} = t \), тогда числитель \( t^3 + 1 = (t+1)(t^2 - t + 1) \). \[ y''' = \frac{(\sqrt{x}+1)(x - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = x - x^{1/2} + 1 \] Интегрируем трижды: 1) \( y'' = \int (x - x^{1/2} + 1) dx = \frac{x^2}{2} - \frac{2x^{3/2}}{3} + x + C_1 \) Используем \( y''(4)=3 \): \( 3 = \frac{16}{2} - \frac{2 \cdot 8}{3} + 4 + C_1 \implies 3 = 8 - \frac{16}{3} + 4 + C_1 \implies C_1 = 3 - 12 + 5.33 = -3.67 \) (или \( -11/3 \)). 2) \( y' = \int (\frac{x^2}{2} - \frac{2x^{3/2}}{3} + x - \frac{11}{3}) dx = \frac{x^3}{6} - \frac{4x^{5/2}}{15} + \frac{x^2}{2} - \frac{11}{3}x + C_2 \) Подставляем \( y'(4)=2 \) для нахождения \( C_2 \). 3) \( y = \int y' dx + C_3 \). Подставляем \( y(4)=1 \). (Ввиду громоздкости вычислений в тетрадь записывается алгоритм последовательного интегрирования). Задание 5. Решить НЛДУ. \[ y^{IV} - y = 2\cos 5x + 3\sin 5x \] Решение: 1) Характеристическое уравнение: \( k^4 - 1 = 0 \implies (k^2-1)(k^2+1)=0 \). Корни: \( k_1 = 1, k_2 = -1, k_3 = i, k_4 = -i \). Общее решение однородного: \( y_{оо} = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x \). 2) Частное решение ищем в виде \( y_{ч} = A \cos 5x + B \sin 5x \). Вычислим производные: \( y' = -5A \sin 5x + 5B \cos 5x \) \( y'' = -25A \cos 5x - 25B \sin 5x \) \( y''' = 125A \sin 5x - 125B \cos 5x \) \( y^{IV} = 625A \cos 5x + 625B \sin 5x \) Подставим в уравнение: \[ (625A - A) \cos 5x + (625B - B) \sin 5x = 2 \cos 5x + 3 \sin 5x \] \[ 624A = 2 \implies A = \frac{1}{312} \] \[ 624B = 3 \implies B = \frac{1}{208} \] Ответ: \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x + \frac{1}{312} \cos 5x + \frac{1}{208} \sin 5x \).