Решение задач по геометрии: ромб, квадрат, треугольник

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача 1. Дано: ромб, \( P = 48 \), \( \alpha = 30^\circ \). Найти: \( S \). Решение: 1) У ромба все стороны равны, поэтому сторона \( a = P : 4 = 48 : 4 = 12 \). 2) Площадь ромба через сторону и угол: \[ S = a^2 \cdot \sin \alpha = 12^2 \cdot \sin 30^\circ = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72 \] Ответ: 72. Задача 2. Дано: квадрат, диагональ \( d = 20 \). Найти: \( S \). Решение: Площадь квадрата через диагональ вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} d^2 = \frac{1}{2} \cdot 20^2 = \frac{400}{2} = 200 \] Ответ: 200. Задача 3. Дано: треугольник, \( a = 14 \), \( h = 31 \). Найти: \( S \). Решение: \[ S = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 31 = 7 \cdot 31 = 217 \] Ответ: 217. Задача 4. Дано: прямоугольник, \( a = 6 \), \( d = 10 \). Найти: \( S \). Решение: 1) По теореме Пифагора найдем вторую сторону \( b \): \[ b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] 2) Площадь прямоугольника: \[ S = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48 \] Ответ: 48. Задача 5. Дано: трапеция, \( a = 9 \), \( b = 72 \), боковая сторона \( c = 30 \), \( \sin \alpha = \frac{5}{9} \). Найти: \( S \). Решение: 1) Высота трапеции \( h = c \cdot \sin \alpha = 30 \cdot \frac{5}{9} = \frac{150}{9} = \frac{50}{3} \). 2) Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{9 + 72}{2} \cdot \frac{50}{3} = \frac{81}{2} \cdot \frac{50}{3} = \frac{81 \cdot 50}{6} = 27 \cdot 25 = 675 \] Ответ: 675. Задача 6. Дано: равносторонний треугольник, \( h = 10 \). Найти: \( S : \frac{\sqrt{3}}{3} \). Решение: 1) Высота равностороннего треугольника \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), отсюда сторона \( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \). 2) Площадь \( S = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot 10 = \frac{100}{\sqrt{3}} \). 3) Искомое значение: \[ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{100}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{300}{3} = 100 \] Ответ: 100. Задача 7. Дано: прямоугольный треугольник, \( S = 98\sqrt{3} \), \( \alpha = 60^\circ \). Найти: прилежащий катет \( b \). Решение: 1) Пусть прилежащий катет равен \( b \). Тогда противолежащий катет \( a = b \cdot \text{tg } 60^\circ = b\sqrt{3} \). 2) Площадь \( S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot b\sqrt{3} \cdot b = \frac{b^2\sqrt{3}}{2} \). 3) Приравняем: \( \frac{b^2\sqrt{3}}{2} = 98\sqrt{3} \), отсюда \( b^2 = 196 \), значит \( b = 14 \). Ответ: 14. Задача 8. Дано: сектор, \( L = 6\pi \), \( \alpha = 120^\circ \). Найти: \( S : \pi \). Решение: 1) Длина дуги \( L = \frac{\pi R \alpha}{180} \). Подставим: \( 6\pi = \frac{\pi R \cdot 120}{180} \), откуда \( 6 = \frac{2}{3} R \), значит \( R = 9 \). 2) Площадь сектора \( S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 81 \cdot 120}{360} = \frac{81\pi}{3} = 27\pi \). 3) Значение \( S : \pi = 27 \). Ответ: 27. Задача 9. Дано: \( \triangle ABC \), \( DE \) — средняя линия, \( S_{CDE} = 25 \). Найти: \( S_{ABC} \). Решение: Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом \( k = \frac{1}{2} \). Отношение площадей равно \( k^2 \). \[ \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] \[ S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 25 = 100 \] Ответ: 100. Задача 10. Дано: квадрат со стороной (предположим по рисунку, что сторона квадрата складывается из отрезков или дана явно, если сторона не указана, обычно она равна сумме видимых частей. На рисунке видны размеры вырезанного прямоугольника 4 и 2. Если сторона квадрата не подписана, решим в общем виде. Допустим, сторона квадрата равна 6). Решение (если сторона квадрата \( a = 6 \)): 1) \( S_{кв} = 6^2 = 36 \). 2) \( S_{пр} = 4 \cdot 2 = 8 \). 3) \( S_{фиг} = 36 - 8 = 28 \). (Примечание: если в учебнике сторона квадрата иная, подставьте её вместо 6).