Решение задач из Карточки 4

Ниже представлено решение задач из Карточки 4, оформленное для записи в тетрадь. Карточка 4 Задача 1 Дано: внешний угол при вершине \(B\) равен \(94^{\circ}\), внешний угол при вершине \(C\) равен \(110^{\circ}\). Найти: \(\angle BAC\). Решение: 1) Найдем внутренний угол \(B\) треугольника как смежный с внешним: \[\angle ABC = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ}\] 2) Найдем внутренний угол \(C\) треугольника как смежный с внешним: \[\angle ACB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\] 3) Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), следовательно: \[\angle BAC = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (86^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ}\] Ответ: \(24^{\circ}\). Задача 2 Дано: \(\angle ACB = 25^{\circ}\) (вписанный угол). Найти: \(\angle AOB\) (центральный угол). Решение: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, центральный угол в два раза больше вписанного: \[\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 25^{\circ} = 50^{\circ}\] Ответ: \(50^{\circ}\). Задача 3 Дано: четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Отрезки диагоналей равны 3, 7, 4, 5. Найти: площадь \(S\). Решение: 1) Найдем длины диагоналей: \[d_1 = 3 + 7 = 10\] \[d_2 = 4 + 5 = 9\] 2) Площадь четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине их произведения: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45\] Ответ: 45. Задача 4 Дано: параллелограмм на клетчатой бумаге. Найти: длину большей высоты. Решение: 1) Основание параллелограмма (горизонтальное) равно 3 клеткам. Высота к нему (вертикальная) равна 4 клеткам. 2) Площадь параллелограмма: \(S = 3 \cdot 4 = 12\). 3) Другая сторона параллелограмма является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 4 (по клеткам). Ее длина: \(\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17} \approx 4,12\). 4) Высота к этой стороне будет \(h = \frac{S}{\sqrt{17}} = \frac{12}{\sqrt{17}} \approx 2,9\). 5) Сравнивая высоты 4 и 2,9, видим, что большая высота равна 4. Ответ: 4. Задача 5 Найти: косинус угла. Решение: 1) Достроим угол до прямоугольного треугольника. По клеткам видно: прилежащий катет \(a = 4\), противолежащий катет \(b = 3\). 2) Найдем гипотенузу \(c\) по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] 3) Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: \[\cos \alpha = \frac{4}{5} = 0,8\] Ответ: 0,8.