Доказательство признака равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу

Хорошо, давайте разберем задачи по порядку. Вариант Б1 Задача 1. Докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании. Решение: Дано: Пусть даны два равнобедренных треугольника: \(\triangle ABC\) с основанием \(AC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) с основанием \(A_1C_1\). Известно, что: 1. Основания равны: \(AC = A_1C_1\). 2. Углы при основании равны: \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle C = \angle C_1\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\). Доказательство: По определению равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Значит, в \(\triangle ABC\), если \(AC\) - основание, то \(\angle A = \angle C\). Аналогично, в \(\triangle A_1B_1C_1\), если \(A_1C_1\) - основание, то \(\angle A_1 = \angle C_1\). Нам дано, что \(AC = A_1C_1\). Также дано, что \(\angle A = \angle A_1\). Из равенства углов при основании следует, что \(\angle C = \angle A\) и \(\angle C_1 = \angle A_1\). Так как \(\angle A = \angle A_1\), то и \(\angle C = \angle C_1\). Таким образом, мы имеем: 1. Сторона \(AC = A_1C_1\). 2. Угол \(\angle A = \angle A_1\). 3. Угол \(\angle C = \angle C_1\). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\). Что и требовалось доказать. Задача 2. Дано: На рисунке изображены два треугольника, пересекающиеся в точке \(O\). Известно, что: 1. \(AO = DO\). 2. \(\angle 1 = \angle 2\). (На рисунке \(\angle 1\) - это \(\angle OAD\), а \(\angle 2\) - это \(\angle ODA\). Это не совсем так, на рисунке \(\angle 1\) - это \(\angle OAB\), а \(\angle 2\) - это \(\angle ODC\). Давайте будем считать, что \(\angle OAB = \angle ODC\), как это обычно обозначается в таких задачах, если углы помечены цифрами 1 и 2 в разных треугольниках). Доказать: \(\triangle AOB = \triangle DOC\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle DOC\). У нас есть следующие данные: 1. Сторона \(AO = DO\) (дано). 2. Угол \(\angle OAB = \angle ODC\) (дано, как \(\angle 1 = \angle 2\)). 3. Углы \(\angle AOB\) и \(\angle DOC\) являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны. Значит, \(\angle AOB = \angle DOC\). Таким образом, мы имеем: 1. Сторона \(AO = DO\). 2. Угол \(\angle OAB = \angle ODC\). 3. Угол \(\angle AOB = \angle DOC\). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Однако, здесь у нас сторона \(AO\) и углы \(\angle OAB\) и \(\angle AOB\). Угол \(\angle OAB\) не является прилежащим к стороне \(AO\) в том смысле, что он не лежит на этой стороне. Угол \(\angle AOB\) прилежит к стороне \(AO\). Это больше похоже на признак равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых прилежит к этой стороне, а другой лежит напротив. Давайте перепроверим. Если \(\angle 1\) и \(\angle 2\) - это углы при вершинах \(A\) и \(D\) соответственно, то есть \(\angle OAB\) и \(\angle ODC\). Тогда у нас есть: - Сторона \(AO = DO\). - Угол \(\angle OAB = \angle ODC\). - Угол \(\angle AOB = \angle DOC\) (как вертикальные). Это второй признак равенства треугольников (по стороне и двум углам). Если сторона и два угла, прилежащие к ней, одного треугольника равны стороне и двум углам, прилежащим к ней, другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае, сторона \(AO\) и углы \(\angle OAB\) и \(\angle AOB\). Угол \(\angle OAB\) не прилежит к стороне \(AO\) в том смысле, что он не является углом, образованным стороной \(AO\) и другой стороной. Он прилежит к стороне \(AB\). Угол \(\angle AOB\) прилежит к стороне \(AO\). Давайте используем более общий признак: Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В \(\triangle AOB\): сторона \(AO\), углы \(\angle OAB\) и \(\angle AOB\). В \(\triangle DOC\): сторона \(DO\), углы \(\angle ODC\) и \(\angle DOC\). Мы имеем: 1. \(AO = DO\) (сторона). 2. \(\angle OAB = \angle ODC\) (угол). 3. \(\angle AOB = \angle DOC\) (угол). По признаку равенства треугольников по стороне и двум углам (второй признак), \(\triangle AOB = \triangle DOC\). Что и требовалось доказать. Задача 3. Дано: Четырехугольник \(ABCD\). Известно, что: 1. \(AD = BC\). 2. \(AB = CD\). Доказать: \(\angle A = \angle C\). Доказательство: Для того чтобы доказать равенство углов, мы можем попробовать доказать равенство треугольников, в которых эти углы являются соответствующими. Проведем диагональ \(BD\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\). У нас есть: 1. Сторона \(AD = BC\) (дано). 2. Сторона \(AB = CD\) (дано). 3. Сторона \(BD\) - общая для обоих треугольников. Таким образом, мы имеем три стороны одного треугольника, равные трем сторонам другого треугольника. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CDB\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Угол \(\angle A\) в \(\triangle ABD\) соответствует углу \(\angle C\) в \(\triangle CDB\). Поэтому, \(\angle A = \angle C\). Что и требовалось доказать.