Решение квадратных уравнений

Домашняя работа 1. Решите уравнения: а) \( 6x^2 + 18x = 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \( 6x(x + 3) = 0 \) \( 6x = 0 \) или \( x + 3 = 0 \) \( x_1 = 0 \); \( x_2 = -3 \) Ответ: \( -3; 0 \). б) \( 4x^2 - 9 = 0 \) Разложим по формуле разности квадратов: \( (2x - 3)(2x + 3) = 0 \) \( 2x - 3 = 0 \) или \( 2x + 3 = 0 \) \( 2x = 3 \); \( 2x = -3 \) \( x_1 = 1,5 \); \( x_2 = -1,5 \) Ответ: \( \pm 1,5 \). в) \( x^2 - 8x + 7 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 8 \) \( x_1 \cdot x_2 = 7 \) Подбором находим: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 7 \). Ответ: \( 1; 7 \). г) \( 3x^2 + 5x + 6 = 0 \) Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47 \) Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. д) \( x^2 - 5 = (x + 5)(2x - 1) \) Раскроем скобки: \( x^2 - 5 = 2x^2 - x + 10x - 5 \) Перенесем всё в одну сторону: \( 2x^2 + 9x - 5 - x^2 + 5 = 0 \) \( x^2 + 9x = 0 \) \( x(x + 9) = 0 \) \( x_1 = 0 \); \( x_2 = -9 \) Ответ: \( -9; 0 \). 2. Решить уравнение: а) \( \frac{3x + 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16} \) ОДЗ: \( x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4 \). Приравниваем числители: \( 3x + 4 = x^2 \) \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -1 \). Корень \( x = 4 \) не подходит по ОДЗ. Ответ: \( -1 \). б) \( \frac{3}{x - 5} + \frac{8}{x} = 2 \) ОДЗ: \( x \neq 0, x \neq 5 \). Умножим на \( x(x - 5) \): \( 3x + 8(x - 5) = 2x(x - 5) \) \( 3x + 8x - 40 = 2x^2 - 10x \) \( 2x^2 - 21x + 40 = 0 \) \( D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121 = 11^2 \) \( x_1 = \frac{21 + 11}{4} = 8 \); \( x_2 = \frac{21 - 11}{4} = 2,5 \) Ответ: \( 2,5; 8 \). 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и 3. По теореме Виета: \( p = -(x_1 + x_2) = -(1 + 3) = -4 \) \( q = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3 \) Уравнение: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). 4. \( x^2 + px + 56 = 0 \), \( x_1 = -4 \). По теореме Виета: \( x_1 \cdot x_2 = 56 \Rightarrow -4 \cdot x_2 = 56 \Rightarrow x_2 = -14 \) \( p = -(x_1 + x_2) = -(-4 - 14) = 18 \) Ответ: \( x_2 = -14, p = 18 \). 5. \( x^2 - 7x + q = 0 \), \( x_1 = 13 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 7 \Rightarrow 13 + x_2 = 7 \Rightarrow x_2 = -6 \) \( q = x_1 \cdot x_2 = 13 \cdot (-6) = -78 \) Ответ: \( x_2 = -6, q = -78 \). 6. Пусть \( x \) — меньшее число, тогда \( x + 5 \) — большее. \( x(x + 5) = 84 \) \( x^2 + 5x - 84 = 0 \) \( D = 25 - 4 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 = 19^2 \) \( x = \frac{-5 + 19}{2} = 7 \) (второй корень отрицательный, не натуральный). Числа: 7 и \( 7 + 5 = 12 \). Ответ: 7 и 12. 7. Пусть стороны \( a \) и \( b \). Периметр: \( 2(a + b) = 22 \Rightarrow a + b = 11 \Rightarrow b = 11 - a \). Площадь: \( a \cdot b = 24 \) \( a(11 - a) = 24 \) \( 11a - a^2 = 24 \) \( a^2 - 11a + 24 = 0 \) По теореме Виета корни 3 и 8. Если \( a = 3 \), то \( b = 8 \). Ответ: 3 см и 8 см.