Решение задач по теме "Колебания маятника"

Задача №1 Дано: \(N = 3\) \(t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}\) \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(l\) — ? Решение: Период колебаний маятника определяется по формуле: \[T = \frac{t}{N}\] \[T = \frac{60}{3} = 20 \text{ с}\] Формула периода математического маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\] Возведем обе части в квадрат: \[T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}\] Отсюда выразим длину \(l\): \[l = \frac{g T^2}{4\pi^2}\] Подставим значения: \[l = \frac{9,8 \cdot 20^2}{4 \cdot 3,14^2} \approx \frac{9,8 \cdot 400}{4 \cdot 9,86} \approx \frac{3920}{39,44} \approx 99,4 \text{ м}\] Ответ: \(l \approx 99,4 \text{ м}\). Задача №2 Дано: \(k = 36 \text{ Н/м}\) \(t = 10 \text{ с}\) \(N = 10\) Найти: \(m\) — ? Решение: Найдем период колебаний: \[T = \frac{t}{N} = \frac{10}{10} = 1 \text{ с}\] Формула периода пружинного маятника: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] Выразим массу \(m\): \[T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \Rightarrow m = \frac{k T^2}{4\pi^2}\] Подставим значения: \[m = \frac{36 \cdot 1^2}{4 \cdot 3,14^2} \approx \frac{36}{39,44} \approx 0,91 \text{ кг}\] Ответ: \(m \approx 0,91 \text{ кг}\). Задача №3 Дано: \(\nu = 0,2 \text{ Гц}\) \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(l\) — ? Решение: Период связан с частотой соотношением: \[T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{0,2} = 5 \text{ с}\] Используем формулу длины из первой задачи: \[l = \frac{g T^2}{4\pi^2}\] \[l = \frac{9,8 \cdot 5^2}{4 \cdot 3,14^2} = \frac{9,8 \cdot 25}{39,44} \approx \frac{245}{39,44} \approx 6,2 \text{ м}\] Ответ: \(l \approx 6,2 \text{ м}\). Задача №4 Дано: \(l = 1 \text{ м}\) \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: \(T\) — ?, \(\nu\) — ? Решение: Период колебаний: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\] \[T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{1}{9,8}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,102} \approx 6,28 \cdot 0,32 \approx 2 \text{ с}\] Частота колебаний: \[\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ Гц}\] Ответ: \(T \approx 2 \text{ с}\), \(\nu \approx 0,5 \text{ Гц}\). Задача №5 Дано: \(N = 150\) \(t = 5 \text{ мин} = 300 \text{ с}\) \(l = 1 \text{ м}\) Найти: \(g\) — ? Решение: Найдем период колебаний по результатам опыта: \[T = \frac{t}{N} = \frac{300}{150} = 2 \text{ с}\] Из формулы периода \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) выразим \(g\): \[g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}\] Подставим значения: \[g = \frac{4 \cdot 3,14^2 \cdot 1}{2^2} = \frac{4 \cdot 9,86 \cdot 1}{4} = 9,86 \text{ м/с}^2\] Ответ: \(g = 9,86 \text{ м/с}^2\).