Контрольная работа по алгебре 8 класс (Вариант 2) - Решение

Контрольная работа за первое полугодие. Алгебра 8 класс. Вариант 2. Задание 1. Представьте в виде дроби: а) \(\frac{3x-1}{x^2} + \frac{x-9}{3x}\) Общий знаменатель \(3x^2\). Дополнительный множитель к первой дроби — 3, ко второй — \(x\). \[\frac{3(3x-1) + x(x-9)}{3x^2} = \frac{9x - 3 + x^2 - 9x}{3x^2} = \frac{x^2 - 3}{3x^2}\] б) \(\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b}\) Общий знаменатель \((2a-b)(2a+b) = 4a^2 - b^2\). \[\frac{(2a+b) - (2a-b)}{4a^2 - b^2} = \frac{2a + b - 2a + b}{4a^2 - b^2} = \frac{2b}{4a^2 - b^2}\] в) \(\frac{5}{c+3} - \frac{5c-2}{c^2+3c}\) Заметим, что \(c^2+3c = c(c+3)\). Общий знаменатель \(c(c+3)\). \[\frac{5c - (5c-2)}{c(c+3)} = \frac{5c - 5c + 2}{c(c+3)} = \frac{2}{c^2+3c}\] Задание 2. Установите соответствие: А) На графике изображена парабола. Это функция вида \(y = x^2\). Соответствует номеру 1. Б) На графике изображена гипербола. Это функция вида \(y = \frac{k}{x}\). Проверим точку (1; 2): \(2 = \frac{2}{1}\). Соответствует номеру 3. В) На графике изображена прямая, проходящая через начало координат. Это функция вида \(y = kx\). Проверим точку (2; 1): \(1 = \frac{2}{2}\). Соответствует номеру 2. Ответ: А — 1, Б — 3, В — 2. Задание 3. Решите уравнение: а) \(x^2 = 0,64\) \[x = \pm \sqrt{0,64}\] \[x_1 = 0,8; x_2 = -0,8\] б) \(x^2 = 46\) \[x = \pm \sqrt{46}\] Задание 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: а) \(\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}\) б) \(\frac{8}{1-\sqrt{7}}\) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \((1+\sqrt{7})\): \[\frac{8(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})} = \frac{8(1+\sqrt{7})}{1^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{8(1+\sqrt{7})}{1 - 7} = \frac{8(1+\sqrt{7})}{-6} = -\frac{4(1+\sqrt{7})}{3}\] Задание 5. Решите уравнение: а) \(3x^2 - 18x = 0\) Вынесем общий множитель: \[3x(x - 6) = 0\] \[3x = 0 \text{ или } x - 6 = 0\] \[x_1 = 0; x_2 = 6\] б) \(100x^2 - 16 = 0\) \[100x^2 = 16\] \[x^2 = \frac{16}{100}\] \[x = \pm \sqrt{0,16}\] \[x_1 = 0,4; x_2 = -0,4\] в) \(0,4x^2 = 0\) \[x^2 = 0\] \[x = 0\] Задание 6. Найдите корни уравнений: а) \(x^2 - 12x + 35 = 0\) По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 12\] \[x_1 \cdot x_2 = 35\] Подбором находим: \[x_1 = 5; x_2 = 7\] б) \(2x^2 + 7x - 9 = 0\) Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\] \[\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11\] \[x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4,5\]