Решение задачи №5: Равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Ниже представлено решение задачи №5 по готовому чертежу (Рис. 163), оформленное для записи в тетрадь. Задача №5 (Рис. 163) Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB = CD\)). \(BC = 5\). \(AD = 15\). \(CE \perp AD\) (высота). Диагонали \(AC \perp BD\). Найти: \(CE\). Решение: 1. В равнобедренной трапеции отрезок \(ED\), отсекаемый высотой \(CE\), равен полуразности оснований: \[ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5\] 2. Отрезок \(AE\) равен: \[AE = AD - ED = 15 - 5 = 10\] Также известно свойство, что в равнобедренной трапеции \(AE\) равен полусумме оснований (средней линии): \[AE = \frac{AD + BC}{2} = \frac{15 + 5}{2} = 10\] 3. Существует теорема: если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна её средней линии. Следовательно: \[CE = \frac{AD + BC}{2}\] \[CE = \frac{15 + 5}{2} = 10\] Ответ: \(CE = 10\).