Решение Билета №1: Комплексные числа и Матрицы

Билет № 1 Вопрос 1. Определение комплексного числа. Формы записи комплексных чисел. Комплексным числом называется выражение вида \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) — действительные числа, а \( i \) — мнимая единица, такая что \( i^2 = -1 \). Число \( a \) называется действительной частью (\( Re \, z \)), а \( b \) — мнимой частью (\( Im \, z \)). Существуют три основные формы записи комплексных чисел: 1. Алгебраическая форма: \[ z = a + bi \] 2. Тригонометрическая форма: \[ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \] где \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) — модуль числа, а \( \varphi \) — его аргумент. 3. Показательная форма: \[ z = r \cdot e^{i\varphi} \] Вопрос 2. Даны матрицы: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \] Найти: 1) \( A + B \) \[ A + B = \begin{pmatrix} -1+3 & 5+(-4) \\ 2+2 & -2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \] 2) \( 2A - B \) Сначала найдем \( 2A \): \[ 2A = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) & 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 10 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \] Теперь вычтем \( B \): \[ 2A - B = \begin{pmatrix} -2-3 & 10-(-4) \\ 4-2 & -4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 14 \\ 2 & -8 \end{pmatrix} \] 3) \( 4A \) \[ 4A = \begin{pmatrix} 4 \cdot (-1) & 4 \cdot 5 \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 20 \\ 8 & -8 \end{pmatrix} \] 4) \( 6A - 3B \) Найдем \( 6A \): \[ 6A = \begin{pmatrix} 6 \cdot (-1) & 6 \cdot 5 \\ 6 \cdot 2 & 6 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 30 \\ 12 & -12 \end{pmatrix} \] Найдем \( 3B \): \[ 3B = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 & 3 \cdot (-4) \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -12 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} \] Вычислим разность: \[ 6A - 3B = \begin{pmatrix} -6-9 & 30-(-12) \\ 12-6 & -12-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 & 42 \\ 6 & -24 \end{pmatrix} \]