Решение Задачи: Расчет Токов Методом Контурных Токов

Дано: \(E_1 = 30\) В, \(E_2 = 30\) В. \(R_1 = 20\) Ом, \(R_2 = 40\) Ом, \(R_3 = 60\) Ом, \(R_4 = 40\) Ом, \(R_5 = 10\) Ом. (Примечание: на схеме также указан резистор \(R_6\), но его номинал не задан в тексте. Примем для расчета, что \(R_6 = 0\) Ом, то есть это просто проводник, либо он не задействован в активной части схемы согласно рисунку). Задание: Рассчитать токи в цепи методом контурных токов. Решение: 1. Выберем независимые контуры и обозначим контурные токи. Пусть \(I_{11}\) — ток в левом контуре (с \(E_2, R_2, R_4\)), направлен по часовой стрелке. Пусть \(I_{22}\) — ток в правом контуре (с \(E_1, R_1, R_3\)), направлен против часовой стрелки. Пусть \(I_{33}\) — ток в центральном контуре (с \(R_5\)). Для упрощения школьной задачи рассмотрим два основных контура, через которые проходят источники ЭДС. 2. Составим систему уравнений по методу контурных токов (МКТ): Для первого контура: \[I_{11} \cdot (R_2 + R_4) + I_{33} \cdot R_5 = E_2\] Для второго контура: \[I_{22} \cdot (R_1 + R_3) + I_{33} \cdot R_5 = E_1\] Подставим численные значения: \[I_{11} \cdot (40 + 40) + I_{33} \cdot 10 = 30\] \[I_{22} \cdot (20 + 60) + I_{33} \cdot 10 = 30\] \[80 \cdot I_{11} + 10 \cdot I_{33} = 30\] \[80 \cdot I_{22} + 10 \cdot I_{33} = 30\] Так как уравнения симметричны, то \(I_{11} = I_{22}\). Ток в общей ветви \(I_5\) (через \(R_5\)) равен сумме контурных токов: \(I_{33} = I_{11} + I_{22} = 2 \cdot I_{11}\). 3. Подставим \(I_{33}\) в первое уравнение: \[80 \cdot I_{11} + 10 \cdot (2 \cdot I_{11}) = 30\] \[80 \cdot I_{11} + 20 \cdot I_{11} = 30\] \[100 \cdot I_{11} = 30\] \[I_{11} = \frac{30}{100} = 0,3 \text{ А}\] 4. Находим реальные токи в ветвях: Ток через резистор \(R_2\) и \(R_4\): \[I_{R2} = I_{R4} = I_{11} = 0,3 \text{ А}\] Ток через резистор \(R_1\) и \(R_3\): \[I_{R1} = I_{R3} = I_{22} = 0,3 \text{ А}\] Ток через центральный резистор \(R_5\): \[I_{R5} = I_{11} + I_{22} = 0,3 + 0,3 = 0,6 \text{ А}\] Ответ: \(I_1 = 0,3\) А, \(I_2 = 0,3\) А, \(I_5 = 0,6\) А.