Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решим систему линейных уравнений методом Крамера. Дана система: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 8 \\ x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 1 \end{cases} \] 1. Вычислим главный определитель системы \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 4) - 1 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + (-1) \cdot (2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1) \] \[ \Delta = 1 \cdot (-6) - 1 \cdot 3 - 1 \cdot 9 = -6 - 3 - 9 = -18 \] 2. Вычислим определитель \( \Delta_1 \), заменив первый столбец на свободные члены: \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2 - 4) - 1 \cdot (16 - 1) - 1 \cdot (32 + 1) \] \[ \Delta_1 = -6 - 15 - 33 = -54 \] 3. Вычислим определитель \( \Delta_2 \), заменив второй столбец: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 8 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (16 - 1) - 1 \cdot (4 - 1) - 1 \cdot (2 - 8) \] \[ \Delta_2 = 15 - 3 + 6 = 18 \] 4. Вычислим определитель \( \Delta_3 \), заменив третий столбец: \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 8 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 - 32) - 1 \cdot (2 - 8) + 1 \cdot (8 + 1) \] \[ \Delta_3 = -33 + 6 + 9 = -18 \] 5. Находим неизвестные по формулам Крамера: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-54}{-18} = 3 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{18}{-18} = -1 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-18}{-18} = 1 \] Ответ: \( x_1 = 3, x_2 = -1, x_3 = 1 \).