Решение системы линейных уравнений: пример

Решим систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 3z = 2 \\ 3x + 6y - 3z = -7 \end{cases} \] 1. Проверим систему на совместность. Заметим, что коэффициенты при \( x \) и \( y \) в уравнениях пропорциональны. Вычислим главный определитель матрицы системы \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & 6 & -3 \end{vmatrix} \] Разложим по первой строке: \[ \Delta = 1 \cdot (4 \cdot (-3) - (-3) \cdot 6) - 2 \cdot (2 \cdot (-3) - (-3) \cdot 3) + (-1) \cdot (2 \cdot 6 - 4 \cdot 3) \] \[ \Delta = 1 \cdot (-12 + 18) - 2 \cdot (-6 + 9) - 1 \cdot (12 - 12) \] \[ \Delta = 6 - 6 - 0 = 0 \] Так как главный определитель равен нулю, система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет их вовсе (несовместна). 2. Проверим уравнения на противоречие. Рассмотрим первое и третье уравнения: (1) \( x + 2y - z = 3 \) (3) \( 3x + 6y - 3z = -7 \) Если мы умножим первое уравнение на 3, то получим: \[ 3 \cdot (x + 2y - z) = 3 \cdot 3 \] \[ 3x + 6y - 3z = 9 \] Теперь сравним это с третьим уравнением системы: Левые части уравнений одинаковы (\( 3x + 6y - 3z \)), но правые части различны (\( 9 \neq -7 \)). 3. Вывод: Полученное противоречие (\( 9 = -7 \)) означает, что данные плоскости, описываемые уравнениями, параллельны и не имеют общих точек пересечения. Следовательно, система уравнений не имеет решений. Ответ: система несовместна (решений нет).