Найти угол AMB треугольника ABC: подробное решение

Дано: Треугольник \(ABC\). Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(M\). \(\angle BAC = 50^\circ\). \(\angle ACB = 70^\circ\). Найти: \(\angle AMB\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Найдем угол \(ABC\): \[ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) \] \[ \angle ABC = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] 2. Так как \(AM\) — биссектриса угла \(BAC\), то угол \(MAB\) равен половине угла \(BAC\): \[ \angle MAB = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \] 3. Так как \(BM\) — биссектриса угла \(ABC\), то угол \(MBA\) равен половине угла \(ABC\): \[ \angle MBA = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \] 4. Рассмотрим треугольник \(AMB\). Сумма его углов также равна \(180^\circ\). Найдем искомый угол \(AMB\): \[ \angle AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) \] \[ \angle AMB = 180^\circ - (25^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \] Ответ: \(125^\circ\).