Решение задачи: Внешний угол треугольника 110°

Дано: Внешний угол треугольника равен \(110^{\circ}\). Угол, смежный с ним, относится к другому углу треугольника как \(2 : 1\). Найти: наименьший угол треугольника. Решение: 1. Найдем внутренний угол треугольника, смежный с данным внешним углом. Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\). Пусть \(\alpha\) — внутренний угол, смежный с внешним. \[\alpha = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\] 2. По условию, этот угол относится к другому углу треугольника (пусть это будет \(\beta\)) как \(2 : 1\). Составим пропорцию: \[\frac{70^{\circ}}{\beta} = \frac{2}{1}\] Отсюда найдем \(\beta\): \[\beta = \frac{70^{\circ} \cdot 1}{2} = 35^{\circ}\] 3. Теперь найдем третий угол треугольника (\(\gamma\)). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). \[\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta)\] \[\gamma = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 35^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}\] 4. Мы получили три угла треугольника: \(70^{\circ}\), \(35^{\circ}\) и \(75^{\circ}\). Наименьшим из них является угол \(35^{\circ}\). Ответ: \(35^{\circ}\).