Решение системы линейных уравнений: x + y + z = 6

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \quad (1) \\ 4x + y + 3z = 15 \quad (2) \\ 3x + 2y - z = 4 \quad (3) \\ 2x - y + z = 3 \quad (4) \end{cases} \] 1. Сложим уравнение (1) и уравнение (4), чтобы исключить переменную \(y\): \[ (x + y + z) + (2x - y + z) = 6 + 3 \] \[ 3x + 2z = 9 \quad (5) \] 2. Сложим уравнение (3) и уравнение (4), чтобы также исключить \(y\): \[ (3x + 2y - z) + 2 \cdot (2x - y + z) = 4 + 2 \cdot 3 \] \[ 3x + 2y - z + 4x - 2y + 2z = 4 + 6 \] \[ 7x + z = 10 \quad (6) \] 3. Теперь у нас есть система из двух уравнений (5) и (6) с двумя переменными: \[ \begin{cases} 3x + 2z = 9 \\ 7x + z = 10 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(z\): \[ z = 10 - 7x \] Подставим это выражение в уравнение (5): \[ 3x + 2(10 - 7x) = 9 \] \[ 3x + 20 - 14x = 9 \] \[ -11x = 9 - 20 \] \[ -11x = -11 \] \[ x = 1 \] 4. Найдем \(z\), подставив \(x = 1\) в выражение для \(z\): \[ z = 10 - 7 \cdot 1 = 3 \] 5. Найдем \(y\), подставив \(x = 1\) и \(z = 3\) в уравнение (1): \[ 1 + y + 3 = 6 \] \[ y + 4 = 6 \] \[ y = 2 \] 6. Проверим полученные значения \(x = 1, y = 2, z = 3\), подставив их в оставшееся уравнение (2): \[ 4 \cdot 1 + 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 2 + 9 = 15 \] Равенство \(15 = 15\) верно. Ответ: \(x = 1, y = 2, z = 3\).