Найти ∠BOH в треугольнике ABC: Решение

Дано: В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 60^{\circ}\) \(\angle B = 50^{\circ}\) \(AH, CK, BL\) — биссектрисы, пересекающиеся в точке \(O\). Найти: \(\angle BOH\). Решение: 1. Биссектриса \(AH\) делит угол \(A\) пополам. Следовательно: \[\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\] 2. Биссектриса \(BL\) делит угол \(B\) пополам. Следовательно: \[\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}\] 3. Рассмотрим треугольник \(AOB\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). Найдем угол \(AOB\): \[\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA)\] \[\angle AOB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}\] 4. Углы \(\angle AOB\) и \(\angle BOH\) являются смежными, так как точка \(H\) лежит на стороне \(BC\), а \(AH\) — это отрезок биссектрисы (в данной задаче под \(AH\) подразумевается вся биссектриса до стороны). Однако, стоит заметить, что \(\angle BOH\) — это угол между биссектрисами. Внешний угол \(\angle BOH\) для треугольника \(AOB\) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \[\angle BOH = \angle OAB + \angle OBA\] \[\angle BOH = 30^{\circ} + 25^{\circ} = 55^{\circ}\] Ответ: \(55^{\circ}\).