Решение: Если середины сторон ABC образуют равносторонний треугольник

Дано: Точки \(D, E, F\) — середины сторон \(AB, BC, CA\) треугольника \(ABC\). \(DE = EF = FD\). Решение: 1. Отрезки \(DE, EF\) и \(FD\) являются средними линиями треугольника \(ABC\), так как они соединяют середины его сторон. 2. По свойству средней линии треугольника, она равна половине стороны, которой она параллельна: \[DE = \frac{1}{2} AC\] \[EF = \frac{1}{2} AB\] \[FD = \frac{1}{2} BC\] 3. По условию задачи \(DE = EF = FD\). Подставим значения из предыдущего шага: \[\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC\] Отсюда следует, что: \[AC = AB = BC\] 4. Так как все три стороны треугольника \(ABC\) равны, треугольник \(ABC\) является равносторонним. 5. Проверим утверждения: 1) Треугольник \(ABC\) — равносторонний. (Верно) 2) Треугольник \(ABC\) — равнобедренный. (Верно, так как любой равносторонний треугольник также является равнобедренным) 3) Треугольник \(ABC\) — прямоугольный. (Неверно, так как в равностороннем треугольнике все углы равны \(60^{\circ}\), и среди них нет прямого угла в \(90^{\circ}\)) Неверным является утверждение под номером 3. Ответ: 3.